bzoj1004

等价类计数问题首先要构造出群

首先，给出的洗牌法就相当于置换，

再加上置换(1)(2)(3)……(n),可以构成一个包含m+1个置换的置换群；

这里要解释一下构成置换群的四个条件

1. 封闭性 任意两个置换相乘所得的置换还在群内 题目中已经给定保证任意多次洗牌都可用这m种洗牌法中的一种代替

2. 结合性 显然置换相乘本身就满足结合律

3. 单位元 存在一个单位元e是的a*e=a成立，显然置换(1)(2)(3)……(n)就是这样一个单位元

4. 逆元   任意一个置换a都存在一个置换b使得a*b=e 这是有题目给定条件对每种洗牌法，都存在一种洗牌法使得能回到原状态。

这样置换群就弄出来了，然后就是根据Burnside引理，找出每个置换不动点的个数

每个置换可以拆成多个不相交的循环的积，不动点就要求每个循环内元素颜色相同

由于颜色存在数量限制，不能用polya求，只能用dp求出

最后注意求平均数设计到除法取模，我们还要求m+1的乘法逆元

var s,r:array[0..200] of longint;
    f:array[0..70,0..22,0..22] of longint;
    ans,x,y,i,j,n,m,a,b,c,p,t:longint;
    v:array[0..200] of boolean;

procedure exgcd(a,b:longint;var x,y:longint);
  var xx,yy:longint;
  begin
    if b=0 then
    begin
      x:=1;
      y:=0;
    end
    else begin
      exgcd(b,a mod b,x,y);
      xx:=x;
      yy:=y;
      x:=yy;
      y:=xx-a div b*yy;
    end;
  end;

function calc(n:longint):longint;  
//f[i,j,k]表示到第i个循环，红色用了j次，蓝色用了k次，由于每个循环内颜色相同，所以绿色用的次数可以根据i,j,k算出
  var t,i,j,k:longint;
  begin
    f[0,0,0]:=1;
    t:=0;
    for i:=1 to n do
    begin
      t:=t+s[i];
      for j:=0 to a do
        for k:=0 to b do
        begin
          f[i,j,k]:=0;
          x:=t-j-k;
          if (x>c) then continue;
          if x<0 then break;
          if j>=s[i] then f[i,j,k]:=(f[i,j,k]+f[i-1,j-1,k]) mod p;  //要涂就一定要足够涂满循环内全部元素
          if k>=s[i] then f[i,j,k]:=(f[i,j,k]+f[i-1,j,k-1]) mod p;
          if x>=s[i] then f[i,j,k]:=(f[i,j,k]+f[i-1,j,k]) mod p;
        end;
    end;
    exit(f[n,a,b]);
  end;

begin
  readln(a,b,c,m,p);
  n:=a+b+c;
  for i:=1 to n do
    s[i]:=1;
  ans:=calc(n);
  for i:=1 to m do
  begin
    for j:=1 to n do
      read(r[j]);
    fillchar(v,sizeof(v),false);
    fillchar(s,sizeof(s),0);
    t:=0;
    for j:=1 to n do
      if not v[j] then
      begin
        x:=j;
        inc(t);
        while not v[x] do
        begin
          v[x]:=true;
          inc(s[t]);  //统计循环规模
          x:=r[x];
        end;
      end;
    ans:=(ans+calc(t)) mod p;  
  end;
  x:=0;
  y:=0;
  exgcd(m+1,p,x,y);
  writeln(ans*(x+p) mod p);  //注意通过扩展欧几里得求出的乘法逆元可能是负数
end.