线性回归可以说是机器学习中最基本的问题类型了，这里就对线性回归的原理和算法做一个小结。
1. 线性回归的模型函数和损失函数
线性回归遇到的问题一般是这样的。我们有m个样本，每个样本对应于n维特征和一个结果输出，如下：
((x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, ...x_n^{(0)}, y_0), (x_1^{(1)}, x_2^{(1)}, ...x_n^{(1)},y_1), ... (x_1^{(m)}, x_2^{(m)}, ...x_n^{(m)}, y_m))
我们的问题是，对于一个新的((x_1^{(x)}, x_2^{(x)}, ...x_n^{(x)} ), 他所对应的(y_x)是多少呢？ 如果这个问题里面的y是连续的，则是一个回归问题，否则是一个分类问题。
对于n维特征的样本数据，如果我们决定使用线性回归，那么对应的模型是这样的：
(h_ heta(x_1, x_2, ...x_n) = heta_0 + heta_{1}x_1 + ... + heta_{n}x_{n}), 其中( heta_i ) (i = 0,1,2... n)为模型参数，(x_i ) (i = 0,1,2... n)为每个样本的n个特征值。这个表示可以简化，我们增加一个特征(x_0 = 1 ) ，这样(h_ heta(x_0, x_1, ...x_n) = sumlimits_{i=0}^{n} heta_{i}x_{i})。
进一步用矩阵形式表达更加简洁如下：
(h_mathbf{ heta}(mathbf{X}) = mathbf{X heta})
其中， 假设函数(h_mathbf{ heta}(mathbf{X}))为mx1的向量,(mathbf{ heta})为nx1的向量，里面有n个代数法的模型参数。(mathbf{X})为mxn维的矩阵。m代表样本的个数，n代表样本的特征数。
得到了模型，我们需要求出需要的损失函数，一般线性回归我们用均方误差作为损失函数。损失函数的代数法表示如下：
(J( heta_0, heta_1..., heta_n) = sumlimits_{i=1}^{m}(h_ heta(x_0^{(i)}, x_1^{(i)}, ...x_n^{(i)}) - y_i)^2)
进一步用矩阵形式表达损失函数：
(J(mathbf heta) = frac{1}{2}(mathbf{X heta} - mathbf{Y})^T(mathbf{X heta} - mathbf{Y}))
由于矩阵法表达比较的简洁，后面我们将统一采用矩阵方式表达模型函数和损失函数。
2. 线性回归的算法
对于线性回归的损失函数(J(mathbf heta) = frac{1}{2}(mathbf{X heta} - mathbf{Y})^T(mathbf{X heta} - mathbf{Y}))，我们常用的有两种方法来求损失函数最小化时候的(mathbf{ heta})参数：一种是梯度下降法，一种是最小二乘法。由于已经在其它篇中单独介绍了梯度下降法和最小二乘法，可以点链接到对应的文章链接去阅读。
如果采用梯度下降法，则(mathbf{ heta})的迭代公式是这样的：
(mathbf heta= mathbf heta - alphamathbf{X}^T(mathbf{X heta} - mathbf{Y}))
通过若干次迭代后，我们可以得到最终的(mathbf{ heta})的结果
如果采用最小二乘法，则(mathbf{ heta})的结果公式如下：
( mathbf{ heta} = (mathbf{X^{T}X})^{-1}mathbf{X^{T}Y} )
当然线性回归，还有其他的常用算法，比如牛顿法和拟牛顿法，这里不详细描述。
3. 线性回归的推广：多项式回归
回到我们开始的线性模型，(h_ heta(x_1, x_2, ...x_n) = heta_0 + heta_{1}x_1 + ... + heta_{n}x_{n}), 如果这里不仅仅是x的一次方，比如增加二次方，那么模型就变成了多项式回归。这里写一个只有两个特征的p次方多项式回归的模型：
(h_ heta(x_1, x_2) = heta_0 + heta_{1}x_1 + heta_{2}x_{2} + heta_{3}x_1^{2} + heta_{4}x_2^{2} + heta_{5}x_{1}x_2)
我们令(x_0 = 1, x_1 = x_1, x_2 = x_2, x_3 =x_1^{2}, x_4 = x_2^{2}, x_5 = x_{1}x_2) ,这样我们就得到了下式：
(h_ heta(x_1, x_2) = heta_0 + heta_{1}x_1 + heta_{2}x_{2} + heta_{3}x_3 + heta_{4}x_4 + heta_{5}x_5)
可以发现，我们又重新回到了线性回归，这是一个五元线性回归，可以用线性回归的方法来完成算法。对于每个二元样本特征((x_1,x_2)),我们得到一个五元样本特征((1, x_1, x_2, x_{1}^2, x_{2}^2, x_{1}x_2))，通过这个改进的五元样本特征，我们重新把不是线性回归的函数变回线性回归。
4. 线性回归的推广：广义线性回归
在上一节的线性回归的推广中，我们对样本特征端做了推广，这里我们对于特征y做推广。比如我们的输出(mathbf{Y})不满足和(mathbf{X})的线性关系，但是(lnmathbf{Y}) 和(mathbf{X})满足线性关系，模型函数如下：
(lnmathbf{Y} = mathbf{X heta})
这样对与每个样本的输入y，我们用 lny去对应， 从而仍然可以用线性回归的算法去处理这个问题。我们把 Iny一般化，假设这个函数是单调可微函数(mathbf{g}(.)),则一般化的广义线性回归形式是：
(mathbf{g}(mathbf{Y}) = mathbf{X heta}) 或者 (mathbf{Y} = mathbf{g^{-1}}(mathbf{X heta}))
这个函数(mathbf{g}(.))我们通常称为联系函数。
5. 线性回归的正则化
为了防止模型的过拟合，我们在建立线性模型的时候经常需要加入正则化项。一般有L1正则化和L2正则化。
线性回归的L1正则化通常称为Lasso回归，它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L1正则化的项，L1正则化的项有一个常数系数(alpha)来调节损失函数的均方差项和正则化项的权重，具体Lasso回归的损失函数表达式如下：
(J(mathbf heta) = frac{1}{2}(mathbf{X heta} - mathbf{Y})^T(mathbf{X heta} - mathbf{Y}) + alpha|| heta||_1)
其中n为样本个数，(alpha)为常数系数，需要进行调优。(|| heta||_1)为L1范数。
Lasso回归可以使得一些特征的系数变小，甚至还是一些绝对值较小的系数直接变为0。增强模型的泛化能力。
Lasso回归的求解办法一般有坐标轴下降法（coordinate descent）和最小角回归法（ Least Angle Regression），由于它们比较复杂，在我的这篇文章单独讲述： 线程回归的正则化-Lasso回归小结
线性回归的L2正则化通常称为Ridge回归，它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L2正则化的项，和Lasso回归的区别是Ridge回归的正则化项是L2范数，而Lasso回归的正则化项是L1范数。具体Ridge回归的损失函数表达式如下：
(J(mathbf heta) = frac{1}{2}(mathbf{X heta} - mathbf{Y})^T(mathbf{X heta} - mathbf{Y}) + frac{1}{2}alpha|| heta||_2^2)
其中(alpha)为常数系数，需要进行调优。(|| heta||_2)为L2范数。
Ridge回归在不抛弃任何一个特征的情况下，缩小了回归系数，使得模型相对而言比较的稳定，但和Lasso回归比，这会使得模型的特征留的特别多，模型解释性差。
Ridge回归的求解比较简单，一般用最小二乘法。这里给出用最小二乘法的矩阵推导形式，和普通线性回归类似。
令(J(mathbf heta))的导数为0，得到下式：
(mathbf{X^T(X heta - Y) + alpha heta} = 0)
整理即可得到最后的( heta)的结果：
(mathbf{ heta = (X^TX + alpha E)^{-1}X^TY})
其中E为单位矩阵。
除了上面这两种常见的线性回归正则化，还有一些其他的线性回归正则化算法，区别主要就在于正则化项的不同，和损失函数的优化方式不同，这里就不累述了。
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