最长子序列问题 最详细的解题报告

最长子序列之和问题

算法一：暴力法（时间复杂度：O(N^2)）

算法描述：依次求从j到i中最大的和，并将最大的和记录在maxValue中，容易理解但是效率低。

static int MaxSum1(int[] arr) {
        int maxValue = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            int curSum = 0;
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                curSum += arr[j];
                if (curSum > maxValue) {
                    maxValue = curSum;
                }
            }
        }
        return maxValue;
    }

算法二：分治法（时间复杂度：O(NlogN)）

算法描述：将整个序列分成两部分，序列最大和有三种情况：

1、在左边子序列中；

2、在右边子序列中；

3、一部分在做序列中，另一部分在有序列中，但是该序列一定包含左子序列的最后一个元素mid，和又子序列的第一个元素mid+1。

对于第1、2中情况，直接递归就可以了；对于第3中情况，需要从左子序列的mid出发，依次递减，求得最大值midLeftSum，再从右子序列的第一个元素mid+1出发，依次递增，求得最大值midRightSum，最后要求的值为：midLeftSum+midRightSum。

整个序列的最大和为第1、2和3中情况中的最大值。

static int MaxSum2(int[] arr, int start, int end) {
        int maxValue = Integer.MIN_VALUE;
        if (start == end) {
            if (arr[start] > 0) {
                maxValue = arr[start];
            }
        } else {
            int mid = (start + end) / 2;
            int leftMaxValue = MaxSum2(arr, start, mid);
            int rightMaxValue = MaxSum2(arr, mid + 1, end);

            int midLeftMaxValue = 0;
            int midLeftSum = 0;
            for (int i = mid; i >= 0; i--) {
                midLeftSum += arr[i];
                if (midLeftSum > midLeftMaxValue) {
                    midLeftMaxValue = midLeftSum;
                }
            }

            int midRightMaxValue = 0;
            int midRightSum = 0;
            for (int i = mid + 1; i <= end; i++) {
                midRightSum += arr[i];
                if (midRightSum > midRightMaxValue) {
                    midRightMaxValue = midRightSum;
                }
            }
            maxValue = Math.max(leftMaxValue,    Math.max(rightMaxValue, midLeftMaxValue    + midRightMaxValue));
        }
        return maxValue;
    }

算法三：动态规划（时间复杂度：O(N)）

算法描述：首先我们想一下，要想为最大子序列之和做贡献，该元素一定要大于0，所以如果第i个子序列之前的子序列之和小于0，就应该舍去。（我当时理解了很长时间才理解清楚）

static int MaxSum3(int[] arr) {
        int maxValue = Integer.MIN_VALUE;
        int curSum = 0;
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            curSum+=arr[i];
            if (curSum > maxValue) {
                maxValue = curSum;
            }
            if(curSum<0){ //第i以前的子序列为做出贡献，小于0，应该舍去
                curSum=0;
            }
        }
        return maxValue;
    }