（图论）树的直径

引言

树作为一种特殊的图，具有很多良好的性质，树的直径便是其中之一。

定义

树的直径有许多相近的定义。但由于没有找到比较权威的定义，就用自己的语言大概表述一下吧。
对于一棵带非负边权的树，定义两点间距离为两点间路径的边权之和，树的直径就是距离最远的两点之间的路径，同时也称该距离为树的直径。
简而言之，树的直径就是树上最长的简单路径。

性质

1. 直径两端点一定是两个叶子节点。

2. 距离任意点最远的点一定是直径的一个端点。

3. 对于两棵树，如果第一棵树直径两端点为(u,v)，第二棵树直径两端点为(x,y)，用一条边将两棵树连接，那么新树的直径一定是u,v,x,y中的两个点。

性质证明

1. 显然成立，证明从略。

2. 情况一：点a在直径((u,v))上。若存在点b使得$ dis(a,b) gt dis (a,u) ext{并且} dis(a,b) gt dis (a,v)$ ，则有 (dis(b,v) ext{或} dis(b,u) gt dis(u,v))，即((u,v))不是该树的直径，矛盾。
   情况二：点a不在直径((u,v))上。若存在点b使得$ dis(a,b) gt dis (a,u) ext{并且} dis(a,b) gt dis (a,v)$ ，不妨取直径的其中一个端点(u)分析。
   分析图如下（灵魂画手上线）：
   

   图片注：(u),(v) 为直径端点，(c)为((a,b) ext{与}(a,u))交点，(d)为((a,u) ext{与}(v,u))交点。

   由于(dis(a,b) gt dis (a,u)) ,可知 (dis(c,b) gt dis (c,u))，进而得到(dis(d,b) gt dis (d,u))，最终可知(dis(v,b) gt dis (v,u))，即((u,v))不是该树的直径，矛盾。

3. 如果新树直径不是原来两棵树中一棵的直径，那么新直径一定经过两棵树的连接边，新直径在原来每棵树中的部分一定是距离连接点最远的点，即一定是原树直径的一个端点。

求解算法

共有两种时间复杂度为 (O(N)) 的算法，一种是dp，另一种是贪心算法。

方法一：动态规划

根据定义，我们只需要求出最大链长即可。
首先将该树转化为有根树。设(f[i])为以节点(i)为根的子树的最大深度，有状态转移方程$$f[i] = max_{j in s(i)}f[j]+1 quad ext{where (s(i)) is the set of the son nodes of node i.}$$那么在该子树中经过节点(i)的最长链长度为 (f[i]) 与次大 (f[j]) （缺省值为0）之和。在整个遍历过程中记录最大链长即可。

方法二：贪心算法

根据树的直径性质2，我们只需要任取一点(s)开始DFS（或BFS）即可找到距离该点的最远点，即直径端点之一，记为(u)。同样的，从节点(u)开始我们便可以找到另一个端点(v)，过程中记录距离即可得到树的直径。
相较于方法一，方法二可以更方便地找到直径的端点，进而得到直径的具体路径。

Code

暂略