C. Cyclic Permutations

题意:给定一个序列，我们根据这个序列来建立一张n个节点的图如下:
1.对于1 <= i <= n，我们找到一个最大的j，满足1 <= j < i并且pj > pi，在节点i和节点j之间连一条边
2.对于1 <= i <= n，我们找到一个最小的j，满足i < j <= n并且pj > pi，在节点i和节点j之间连一条边

求所有序列中，满足含有简单环的情况，数据很大，需要模上1e9+7

分析:我们先来看看样例给出的4，答案为16，全集为4 * 3 * 2 * 1，所有序列个数为24，说明不合法的情况相对于全集来说很少，说明我们可以尝试用全集-不合法的情况来算出合法的情况。我们来看看[3, 1, 2, 4]，，存在简单环的情况，，从1开始到2，从2再到3，再回到1。对于题目来说，一个点会连向最靠近它的大于它的值的点，不失一般性，我们假设如下:，然后假设pi < pk，那么pi和pk之间也会连一条边，这样就存在一个简单环了。pi和pk是最靠近pj的并且大于pj的数，我们可以发现，(pi, pj)，(pj, pk)之间的点都是小于左右两个端点的值的。我们可以得到不合法的情况即是一个单峰序列，单峰序列的方案数为(2^{n-1})。那么合法的方案数即为(n! - 2^{n-1})。

单峰排列的个数:假设f[i]为1~i构成的单峰排列方案数，那么我们f[i + 1]为把i + 1插入到f[i]的排列的峰顶i的左右两侧，方案数则为f[i] * 2，即f[i + 1] = f[i] * 2。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;
using ll = long long;
const int mod = 1e9 + 7;

int qmi(int a, int b)
{
	int res = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1) res = (ll)res * a % mod;
		a = (ll)a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

int main()
{
	int n;
	cin >> n;

	int res = 1;

	for (int i = n; i >= 1; --i)
	{
		res = ((ll)res * i) % mod;
	}

	res = (((ll)res - qmi(2, n - 1)) % mod + mod) % mod;

	cout << res << endl;

	return 0;
}