在之前的blog中已经对数论函数进行了简单的介绍，这里对其进行更加深入的讨论。
定义两个数论函数的加法：(({f f}+{f g})(n)={f f}(n)+{f g}(n))
数乘：((x{f f})(n)=x{f f}(n))
狄利克雷卷积（用符号(*)表示）：
若有({f t}(n)=({f f}*{f g})(n))，则(({f f}*{f g})(n)=sumlimits_{imid n}{f f}(i){f g}(dfrac{n}{i})=sumlimits_{ij=n}{f f}(i){f g}(j))
有的时候我们会简写为({f t}={f f}*{f g})，省略后面的括号。
接下来给出一些关于狄利克雷卷积的性质。证明略，毕竟公式太难打了（懒
1.交换律：({f f}*{f g}={f g}*{f f})
2.结合律：(({f f}*{f g})*{f h}={f f}*({f g}*{f h}))
3.分配律：(({f f}+{f g})*{f h}={f f}*{f h}+{f g}*{f h})
4.数乘性质：((x{f f})*{f g}=x({f f}*{f g}))
5.(varepsilon*{f f}={f f})（这就是(varepsilon)被称为是“单位函数”的原因）
6.对于一个满足({f f}(1)
eq0)的数论函数({f f})，存在数论函数({f g})使得({f f}*{f g}=varepsilon)。
我们称({f g})为({f f})的狄利克雷逆元，或简称是({f f})的逆。
不难证明({f g}(n)=dfrac{1}{{f f}(1)}left([n=1]-sumlimits_{imid n,i
eq1}{f f}(i){f g}(dfrac{n}{i})
ight))
以上为狄利克雷卷积的最基本的性质。这里给出两个更加重要的性质：
7.两个积性函数的狄利克雷卷积是积性函数。
设({f t}={f f}*{f g})，则：
(egin{aligned}{f t}(nm)&=sumlimits_{dmid nm}{f f}(d){f g}(dfrac{nm}{d})\&=sumlimits_{amid n,bmid m}{f f}(ab){f g}(dfrac{nm}{ab})\&=sumlimits_{amid n,bmid m}{f f}(a){f f}(b){f g}(dfrac{n}{a}){f g}(dfrac{m}{b})\&=left(sumlimits_{amid n}{f f}(a){f g}(dfrac{n}{a})
ight)left(sumlimits_{bmid m}{f f}(b){f g}(dfrac{m}{b})
ight)\&={f t}(n){f t}(m)end{aligned})
8.积性函数的逆是积性函数。
设({f f}*{f g}=varepsilon)，其中已知({f f})是积性函数，于是({f f}(1)=1)。
根据那个逆元的式子有({f g}(n)=[n=1]-sumlimits_{imid n,i
eq1}{f f}(i){f g}(dfrac{n}{i}))。
使用数学归纳法。当(nm=1)时，({f g}(nm)={f g}(1)=1)，成立。
当(nm>1)时：
(egin{aligned}{f g}(nm)&=-sumlimits_{imid nm,i
eq1}{f f}(i){f g}(dfrac{nm}{i})\&=-sumlimits_{amid n,bmid m,ab
eq1}{f f}(ab){f g}(dfrac{nm}{ab})\&=-sumlimits_{amid n,bmid m,ab
eq1}{f f}(a){f f}(b){f g}(dfrac{n}{a}){f g}(dfrac{m}{b})\&={f f}(1){f f}(1){f g}(n){f g}(m)-sumlimits_{amid n,bmid m}{f f}(a){f f}(b){f g}(dfrac{n}{a}){f g}(dfrac{m}{b})\&={f g}(n){f g}(m)-varepsilon(n)varepsilon(m)\&={f g}(n){f g}(m)end{aligned})
这样我们就完成了证明。
我们定义({f 1})的逆为(mu)。由前面的性质知(mu)也是积性函数。
我们尝试求出(mu(n))的值。因为这是个积性函数，于是只需考虑(mu(p^k))即可。
直接代入定义，最终可得：
(mu(p^k)=egin{cases}1,k=0\-1,k=1\0,k>1end{cases})
于是
({f mu}(n)=egin{cases}(-1)^k,n=p_1p_2p_3cdots p_k\0, ext{otherwise}end{cases})
莫比乌斯反演：
({f g}={f f}*{f 1}Longleftrightarrow{f f}={f g}*mu)这不是废话吗
展开来写就是({f g}(n)=sumlimits_{dmid n}{f f}(d)Longleftrightarrow{f f}(n)=sumlimits_{dmid n}mu(dfrac{n}{d}){f g}(d))
其实我们还有另一个方向上的莫反：
({f g}(x)=sumlimits_{xmid y}{f f}(y)Longleftrightarrow{f f}(x)=sumlimits_{xmid y}mu(dfrac{y}{x}){f g}(y))