Codeforces 1188A 构造

题意：给你一颗树，树的边权都是偶数，并且边权各不相同。你可以选择树的两个叶子结点，并且把两个叶子结点之间的路径加上一个值（可以为负数），问是否可以通过这种操作构造出这颗树？如果可以，输出构造方案。初始树的边权都是0。

思路：A1很简单，只要判断是否有度数为2的点就可以了。对于A2, 由于边权各不相同，所以A1的结论同样适用。现在我们来构造一组答案。官方题解的构造方式是这样的：我们假设要让一个节点u到叶子结点v的路径都加上一个值x，并且知道叶子结点l1, l2都可以到达u，我们执行以下操作：v到l1的路径加上x / 2, v到l2的路径加上x / 2, l1 到 l2的路径加上-x / 2,这样除了u到v的路径，其它路径的值没有变（太菜了，想不到。。。）。那么，我们从树根开始，从上到下逐个构造边权即可。

由于n只有1000，所以实现方式有两种。

第一种很暴力，赋值操作直接暴力加，复杂度O(n ^ 2)。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define pii pair<int, int>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn = 1010;
vector<pii> G[maxn];
vector<int> son[maxn];
LL add[maxn];
struct node {
	int x, y;
	LL z;
};
vector<node> ans;
int root = 1; 
int f[maxn];
void adde(int x, int y, int z) {
	G[x].push_back(make_pair(y, z));
	G[y].push_back(make_pair(x, z));
}
 
int dfs(int x, int fa) {
	f[x] = fa;
	for (auto y : G[x]) {
		if(y.first== fa) continue;
		int tmp = dfs(y.first, x);
		son[x].push_back(tmp);
	}
	if(G[x].size() == 1) {
		return x;
	}
	return son[x][0];
}
 
void update(int x, int p, int val) {
	while(x != p) {
		add[x] += val;
		x = f[x];
	}
}
void dfs1(int x, int fa) {
	int cnt = 0;
	if(x == root) {
		int y = G[x][0].first;
		if(G[y].size() == 1) {
			ans.push_back((node){x, y, G[x][0].second});
			return;
		}
		LL tmp = G[x][0].second;
		ans.push_back((node){son[y][0], root, tmp / 2});
		ans.push_back((node){son[y][1], root, tmp / 2});
		ans.push_back(node{son[y][0], son[y][1], -tmp / 2});
		dfs1(y, x);
	} else {
		for (auto y : G[x]) {
			if(y.first == fa) continue;
			LL tmp = y.second - add[y.first];
			int tmp1;
			if(cnt == 0) tmp1 = 1;
			else tmp1 = 0;
			ans.push_back((node){son[x][cnt], root, tmp / 2});
			ans.push_back((node){son[x][cnt], son[x][tmp1], tmp / 2});
			ans.push_back(node{root, son[x][tmp1], -tmp / 2});
			update(son[x][cnt], x, tmp);
			dfs1(y.first, x);
			cnt++;
		}
	}
}
 
int main() {
	int n;
	int x, y, z;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
		adde(x, y, z);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if(G[i].size() == 2) {
			printf("NO
");
			return 0;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if(G[i].size() == 1) {
			root = i;
			break;
		}
	}
	dfs(root, -1);
	dfs1(root, -1);
	printf("YES
");
	printf("%d
", ans.size());
	for (int i = 0; i < ans.size(); i++) {
		printf("%d %d %lld
", ans[i].x, ans[i].y, ans[i].z);
	}
}

第二种用了类似树剖中重儿子的思想，我们给一颗子树中决定一个优先级最高的叶子结点，这样加的操作是这个叶子结点到它的祖先的路径上进行的，其它的路径没有影响，这样累加影响的时候，如果这个叶子结点，把前面的影响累加上，否则不加。复杂度O(n)。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define pii pair<int, int>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn = 1010;
vector<pii> G[maxn];
vector<int> son[maxn];
LL add[maxn];
struct node {
	int x, y;
	LL z;
};
vector<node> ans;
int root = 1; 
int v[maxn];
void adde(int x, int y, int z) {
	G[x].push_back(make_pair(y, z));
	G[y].push_back(make_pair(x, z));
}
 
int dfs(int x, int fa) {
	for (auto y : G[x]) {
		if(y.first== fa) continue;
		int tmp = dfs(y.first, x);
		son[x].push_back(tmp);
	}
	if(G[x].size() == 1) {
		v[x] = x;
		return x;
	}
	v[x] = son[x][0];
	return son[x][0];
}
 
void dfs1(int x, int fa, int tot) {
	int cnt = 0;
	if(x == root) {
		int y = G[x][0].first;
		if(G[y].size() == 1) {
			ans.push_back((node){x, y, G[x][0].second});
			return;
		}
		LL tmp = G[x][0].second;
		ans.push_back((node){son[y][0], root, tmp / 2});
		ans.push_back((node){son[y][1], root, tmp / 2});
		ans.push_back(node{son[y][0], son[y][1], -tmp / 2});
		dfs1(y, x, 0);
	} else {
		for (auto y : G[x]) {
			if(y.first == fa) continue;
			LL tmp = y.second;
			if(v[y.first] == v[x]) tmp -= tot;
			int tmp1;
			if(cnt == 0) tmp1 = 1;
			else tmp1 = 0;
			ans.push_back((node){son[x][cnt], root, tmp / 2});
			ans.push_back((node){son[x][cnt], son[x][tmp1], tmp / 2});
			ans.push_back(node{root, son[x][tmp1], -tmp / 2});
			dfs1(y.first, x, y.second);
			cnt++;
		}
	}
}
 
int main() {
	int n;
	int x, y, z;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
		adde(x, y, z);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if(G[i].size() == 2) {
			printf("NO
");
			return 0;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if(G[i].size() == 1) {
			root = i;
			break;
		}
	}
	dfs(root, -1);
	dfs1(root, -1, 0);
	printf("YES
");
	printf("%d
", ans.size());
	for (int i = 0; i < ans.size(); i++) {
		printf("%d %d %lld
", ans[i].x, ans[i].y, ans[i].z);
	}
}

两份代码中为了实现方便，都找了一个度为1的点为根。