( m{0x01}) 闲话 · (LCT)的用途以及具体思路
LCT是啥？百度一下的话……貌似是一种检查妇科病的东西？Oier的口味可是真不一般啊
咳，其实在我最近只是浅浅地学了一部分的基础上，窝觉得(LCT)其实就是一个用来维护森林连通性的。
嗯……因为其独特的性质所以也可以顺便维护好多东西，什么链上的最大值啊，链上的权值和啊……都可以维护——或者说，LCT是更加全能的树剖。
但其实吧……(LCT)打板子是很简单的，但是真正理解却一点儿也不简单。因为本身(splay)就很麻烦了，况且(splay)之前一直用于维护数列。要知道，此处的(splay)可是作为辅助树，维护一整个森林，并且可以支持序列中几乎全部操作——这就大大增高了理解难度。举个例子，你曾经认为已经难以理解、或者说不可以做的、比较复杂的区间翻转(Luogu3391)，在(LCT)里面有十分全面的涉及，但是被精简到了只有两行是用来描述这个内容的。显而易见的是，(LCT)虽然常数十分的大，但代码十分的短，比一棵完整的平衡树短了不少（实测50+行），与(FFT)一样具有着华丽的可观赏性，但是隐藏在之后的思维难度同样不可小觑。
也就是说我们是不是学的太草率、太浮躁了呢？快餐式地学完(LCT)，网上的每一篇博客都包教包会。但是我今天要整理的，是对于(LCT)真正的理解。希望各位看到这篇拙作的人可以获得一些什么。
( m{0x02}) 闲话 · 关于( m{splay})
道理我都懂，要想动态拆删一些东西，辅助树的形态可以改变是先决条件。看上去平衡树好像是个不错的选择，但是，选哪个作为辅助树呢？后宫佳丽三千我该翻谁的牌子呢
历史的重任最后落到了( m{splay})的身上。然后( m{splay})他居然：
他甚至还：
……
好吧，由于某些rqy也不知道的原因，如果不用(
m{splay})的话，复杂度是均摊(Theta(
m{nlog^2n})), 而用(
m{splay})就可以做到均摊(Theta(
m{nlogn})) ……但事实上，splay确实有他独特的性质，比如旋转到根啊之类的，比起其他种类的平衡树而言，更加适合(LCT)
( m{0x03}) (LCT)的思路和基础操作
一 主要思路
主要思路嘛……大概是基于实链剖分的操作。
朴素的树剖是重链剖分，大体上就是将整棵树的链划分为轻边和重链，运用巧妙的性质做到(log)级别。而遗憾的是(LCT)维护的是森林的连通性，所以只能采用实链剖分。
而实链剖分大体上就是把边分为虚边和实边。其中实边串联起一个联通块，同一组实边存在、且仅存在于一棵( m{splay})中。( m{splay})和( m{splay})之间由虚边相连。
实链剖分的好处呢？在于实链剖分是一种动态剖分，他可以随意改变边的虚实属性。而显然，重链剖分由于有着足够的理论依据和逻辑推演，所以轻重链是难以更改，或者说，不可更改的。So，实链剖分为动态树的动态打下了基础。
那么接下来我们来看一个(LCT)是如何定义的:
- 首先，一棵(LCT)管控的是一对分散的点，点以几棵分散的(splay)的形式聚集。起初整棵(LCT)是没有任何联系的，各自为战，各自为根。我们接下来会看到的(access)、(makeroot)等操作，都是在自己的联通块儿内部进行的操作。换句话讲，(LCT)维护的是有根森林，即组成森林的每个联通块都有其唯一的根。
- 实边串联起一个联通块，同一组实边存在、且仅存在于一棵(
m{splay})中。(
m{splay})和(
m{splay})之间由虚边相连。只有实边是有效的，虚边可以被认为不存在。但是两种边都没有用到显式存储，都是通过splay中的(Son)数组和(Fa)数组访问的。但虚边和实边的存储有区别：
- 虚边是认父不认子，即如果(Fa[x]==y)，那么(y)不存(x)这个儿子，但是(x)存(y)这个父亲。这样做是为了可以(Access)——因为其实在(Access)的子函数(splay)里，发挥作用的实际上是(Fa)指针。
- 实边是完整的双向存储。
- ( m{splay})中维护的是一条从存储上到下按在原树中深度严格递增的路径，且中序遍历( m{splay})得到的每个点的深度序列严格递增。换句话讲，一个( m{splay})里面不会出现在原联通块儿（树）中深度相同的两个点。在一棵( m{splay})中，键值就是原树中的深度。
- 如果(x)是它所在(splay)的最左边的点，那么它在原森林里的父亲是(x)所在(splay)的根的(fa), 否则就是(x)在(splay)上的前驱.
二 基础操作
(emm)所谓基础操作大概就是每个用到(LCT)的题几乎都要用到的操作，我们这个地方先把点(n)所在联通块儿内的树的根记作$root(n) (，把与)n$以实边相连的儿子记作实儿子。
-
( m{1}) (Access)
这个操作有着很迷的性质，其时间复杂度是均摊(log n)的。而这个操作的目的是(Access(n))表示从(root(n))向(n)打通一条实链，并以(n)点为最深度最大的点、(root(n))为深度最小的点形成一棵( m{splay})。
不难看出，这个操作其实跟是一种逻辑层面的自我调控，没有改变原树的结构。
我们思考，如果此时我们(Access)完点(n)之后，理论上来讲，(n)点应该不再有实儿子了——显然，如果有实儿子的话，(splay)中是应该包含这个实儿子的——而这就不符合(n)是( m{splay})中深度最大的点的性质了。而因为在splay中，点是以深度为键值的，所以我们要每次砍掉( m{splay})中的右儿子——即砍掉原来的实儿子，并把刚刚诞生的( m{splay})连上。
inline void Access(int x) {
for (int qwq = 0 ; x ; x = T[qwq = x].F)
splay(x), rc = qwq, update(x) ;
}
然后这就是(Access)了。
-
(2 ~~Make~ Root~)
(make\_root)先从原来的根向(n)打通一条路径，然后(splay)上去，最后(reverse)一下。此处由于一开始(n)的深度最大，(splay)之后深度依旧最大，但此时(n)是(splay)的根，所以(reverse(n))就相当于翻转了整条树上的链，那么翻转之后，(n)的深度就变成了最小，于是就是这个联通块儿的根节点了。
#define lc T[x].Son[0]
#define rc T[x].Son[1]
struct LCT{
int F, Son[2], R, S ;
}T[MAXN] ;
inline void splay(int x) ;
inline void reverse(int x) { lc ^= rc ^= lc ^= rc, T[x].R ^= 1 ;}
inline void push_down(int x) { if (!T[x].R) return ; T[x].R = 0 ; if (lc) reverse(lc) ; if (rc) reverse(rc) ; }
inline void Rooten(int x) { Access(x), splay(x), reverse(x) ; }
inline void splay(int x){
int qwq = x ; stk.push(qwq) ;
while(check(qwq)) qwq = T[qwq].F, stk.push(qwq) ;
while(!stk.empty()) push_down(stk.top()), stk.pop() ;
while(check(x)){
int fa = T[x].F, g_fa = T[fa].F ;
if (check(fa)) rotate((T[g_fa].Son[1] == fa) == (T[fa].Son[1] == x) ? fa : x) ; rotate(x) ;
}
}
此处(splay)中由于要下放标记，保证树的形态是正确的，所以我们用一个(stack)存一下，顺序下放标记。
-
(3~~Merge~~)
此处的(Merge(x, y))的意义是，拉起(x,y)中间的链，形成一个(splay)。这里就直接(Mkroot)一遍，然后(Access)即可。让哪个点当根应该都可以，只不过多(splay)几次可以保证优（毒）秀（瘤）的复（大）杂（常）度（数）。
inline void Merge(int x, int y) { Rooten(x), Access(y), splay(y) ; }
-
(4~~Link~&~Cut)
如果保证(Link)和(Cut)都是合法的操作的话，(Link)直接连，(Cut)直接删即可。
inline void Link(int x, int y){ Rooten(x) ; T[x].F = y ;}
inline void Cut(int x, int y){ Merge(x, y) ; T[x].F = T[y].Son[0] = 0 ;}
此处(Link)必须先(Mkroot)一下，否则树链就断了。连的是虚边（因为连实边就会改变原来(splay)的割据）；(Cut)必须先(split)一下，保证两个点之间在同一棵(splay)中，加之我们的(Merge)操作中，一开始把(x)给(mkroot)了，再把(y)点(splay)上去，直接导致了现在(x)应该是(y)的孩子——于是就很开心的，可以直接(cut)了。
但事实上，天不遂人意……有时候这条边并不存在，盲目删除的话会导致(GG)，盲目连边的话也会导致树的形态爆炸，所以我们要进行一波操作……
- (New-Link)
inline void Link(int x, int y){ Rooten(x) ; if(Find(y) != x) T[x].F = y ;}
inline int Find(int x){ Access(x), splay(x) ; while(lc) push_down(x), x = lc ; splay(x) ; return x ;}
此处的意义在于，如果我们发现两个点在一个子树里面，连接它们就破坏了树的性质。(Find)就是无比普通的(Find)。。。。233
但要注意啊，(Find)找的是原树中的根，不是(splay)。由于原树中根的深度一定最小，所以应该是(splay)中最靠左的点……所以不断找左儿子。
多(BB)一句，这个地方一定注意啊！(Find)只改变了(splay)的形态，(mkroot)改变的是原树中的根
- (New-Cut)
inline void Cut(int x, int y){
Rooten(x) ;
if (Find(y) != x || T[y].Son[0] || T[y].F != x) return ;
T[y].F = T[x].Son[1] = 0, update(x) ;
}
此处首先我们要判一下这两个点是不是直接相连。是否直接相连……在一棵(splay)中的体现，要克服两个问题，第一是要判断是否连通，还是(Find)操作。
之后我们需要判断是否满足恰好相隔一条边——注意，首先因为代码中的(x)比(y)在原树位置靠上（(Rooten)了(x)），在(splay)中靠左，那么如果(y)有左儿子的话，说明一定有(Depth(x) < Depth(y ext{的左儿子们}) < Depth(y))，其中(Depth)表示原树深度。那么此时原树中(x)和(y)之间，一定隔着一些节点。考虑树的性质，两点之间有且仅有一条简单路径——所以当(T[y].Son[0])不指向(Null)时，(x)和(y)之间没有一条边，不能直接(Cut)。
剩下的就很简单了，(T[y].F)应该是(x)，否则也不是直接相连。
-
5 (~Rotate)中的坑点
呃……其实就一处而已。就是：
inline bool check(int x){ return T[T[x].F].Son[0] == x || T[T[x].F].Son[1] == x ; }
inline void rotate(int x) {
int fa = T[x].F, g_fa = T[fa].F, W = x == T[fa].Son[1] ;
if (check(fa)) T[g_fa].Son[T[g_fa].Son[1] == fa] = x ; T[x].F = g_fa ;
T[fa].Son[W] = T[x].Son[W ^ 1], T[T[x].Son[W ^ 1]].F = fa, T[fa].F = x, T[x].Son[W ^ 1] = fa, update(fa), update(x) ;
}
这个地方(splay)双旋判断祖父的时候，不再用( m{if(g\_fa)})，而是用( m{if(check(fa))})。原因很简单，我们的虚边也是有指向父亲的指针的，但是连接两个不同的(splay)
剩下的……大概就没了吧……
于是——
(color{red}{C}color{cyan}{o}color{gold}{d}color{green}{e})
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#define MAXN 300233
#define lc T[x].Son[0]
#define rc T[x].Son[1]
#define rep(a, b, c) for(a = b ; a <= c ; ++ a)
using namespace std ;
struct LCT{
int F, Son[2], R, S ;
}T[MAXN] ; stack <int> stk ;
int base[MAXN], N, M, A, B, C, i ;
inline int Find(int x) ;
inline void splay(int x) ;
inline void push_down(int x) ;
inline void update(int x) { T[x].S = T[lc].S ^ T[rc].S ^ base[x] ;}
inline void reverse(int x) { lc ^= rc ^= lc ^= rc, T[x].R ^= 1 ;}
inline bool check(int x){ return T[T[x].F].Son[0] == x || T[T[x].F].Son[1] == x ; }
inline void Access(int x) { for (int qwq = 0 ; x ; x = T[qwq = x].F) splay(x), rc = qwq, update(x) ; }
inline void rotate(int x) {
int fa = T[x].F, g_fa = T[fa].F, W = x == T[fa].Son[1] ;
if (check(fa)) T[g_fa].Son[T[g_fa].Son[1] == fa] = x ; T[x].F = g_fa ;
T[fa].Son[W] = T[x].Son[W ^ 1], T[T[x].Son[W ^ 1]].F = fa, T[fa].F = x, T[x].Son[W ^ 1] = fa, update(fa), update(x) ;
}
inline void splay(int x){
int qwq = x ; stk.push(qwq) ;
while(check(qwq)) qwq = T[qwq].F, stk.push(qwq) ;
while(!stk.empty()) push_down(stk.top()), stk.pop() ;
while(check(x)){
int fa = T[x].F, g_fa = T[fa].F ;
if (check(fa)) rotate((T[g_fa].Son[1] == fa) == (T[fa].Son[1] == x) ? fa : x) ; rotate(x) ;
}
}
inline void Rooten(int x) { Access(x), splay(x), reverse(x) ; }
inline void split(int x, int y) { Rooten(x), Access(y), splay(y) ; }
inline void Link(int x, int y){ Rooten(x) ; if(Find(y) != x) T[x].F = y ;}
inline int Find(int x){ Access(x), splay(x) ; while(lc) push_down(x), x = lc ; splay(x) ; return x ;}
inline void push_down(int x) { if (!T[x].R) return ; T[x].R = 0 ; if (lc) reverse(lc) ; if (rc) reverse(rc) ; }
inline void Cut(int x, int y){ Rooten(x) ; if (Find(y) != x || T[y].Son[0] || T[y].F != x) return ; T[y].F = T[x].Son[1] = 0, update(x) ; }
int main(){
cin >> N >> M ;
rep(i, 1, N) scanf("%lld", &base[i]) ;
rep(i, 1, M){
scanf("%d%d%d", &A, &B, &C) ;
if (A == 0) split(B, C), printf("%d
", T[C].S) ;
else if (A == 1) Link(B, C) ; else if (A == 2) Cut(B, C) ; else splay(B), base[B] = C ;
}
return 0 ;
}
( m{0x00}) 后记和参考
可写完了……嗝……打个肥宅嗝犒劳犒劳自己
怎么说呢，自从我开始学(LCT)到我写完这篇(blog)为止，是我十分难熬的时间，总时长接近一周。一开始看别人写的(LCT)，想当然地、草率地理解了理解，就开始打板子，对(LCT)一直是极为肤浅的认识。直到开始写，才发现自己哪个地方都不会，理解的半生不熟，总之很惨……
写博客真是一个陶冶情操的过程啊……包括做表情包
加油吧，(pks)！
( m{Reference})
- ([1]) :(Flash\_Hu)的(blog) (^{^{[ earrow ]}})
- ([2]) :某篇论文，结合食用效果显著 (^{^{[ earrow]}})