[学习笔记] Manacher与PAM

(1) Manacher

挺短，背是挺好背的

Manacher用于求回文串长度。思想大概就是：

1、加入字符集之外的识别字符（比如#）分隔开原来相邻的字母，这样所有的回文串都变成了以某个字符为中心的（否则如果是偶数长度的回文串还要特判）。

2、考虑借由以前的信息求出新的回文串长度。记录到现在为止最靠右的回文串中最右侧的字符下标&其对称轴的下标，不妨记这个最靠右的串为( m S)。那么考虑以当前位置作为对称轴的答案，一定至少是(min){隔着( m S)的对称轴与其对称的另一个位置ans，(|S|-i+1)} 。然后就不断扩展即可。

3、关于复杂度证明。我们记一次帅气的操作的意义是成功让(ans_i)的初始值继承了与之对称的点的答案和边界的取(min)，记以当前点为轴的最长回文子串为( m T)，(T)的右端点为(q)。可以知道

• （1）( m S)的右端点是单增的；
• （2）如果当前旧的(maxlen<i)，即未成功进行一次帅气的操作，那么显然while1次，(maxlen)增大一次；
• （3）如果当前的串经过了一次帅气的操作，那么当(q<maxlen)时，直接跳出while；当(qgeq maxlen)时，(q)增大(maxlen)必增大。所以得出结论，进行一次帅气的操作和(maxlen)的增大次数是严格同阶的。

So,最终复杂度就是(Theta(n))的。

void Manacher(char *s){
	int id, fars, i ; 
	id = 0, fars = 0 ;
	//id : 最靠右的回文串的中心位置 
	//fars : 迄今为止最靠右的回文串的最右侧 
	for (i = 1 ; i <= N ; ++ i)
		ns[++ L] = (int)In[i], ns[++ L] = '#' ;
	for (i = 1 ; i <= L ; ++ i){
		if (fars <= i) base[i] = 1 ; 
		else base[i] = min(fars - i + 1, base[id * 2 - i]) ;
		while (ns[i + base[i]] == ns[i - base[i]]) base[i] ++ ;
 		if (i + base[i] > fars) id = i, fars = i + base[i] - 1 ;	
	}
}
int main(){
	scanf("%s", In + 1), 
	L = -1, N = strlen(In + 1) ;
	ns[++ L] = '$', ns[++ L] = '#' ; Manacher(In) ;
	for (int i = 1 ; i <= 2 * N + 2 ; ++ i) ans = max(ans, base[i] - 1) ; 
	cout << ans << endl ; return 0 ;
}

(2) PAM

学了PAM，不知道为啥感觉比SAM简单？参考的资料会放在最后。

其实就是一种自动机，以回文串为状态，左右各添加一个字符为转移的自动机。要点如下：

0、一个串的回文子串至多有(O(n))个。

1、首先每个节点需要保存这个节点中回文串的长度。

2、显然始状态需要有两个，即奇数长度的(s)和偶数长度的(s)，称作“奇根”和“偶根”。那么为了方便呢，奇根的长度设置为(-1)，偶根长度设置为(0)。

3、考虑要从(last)指针扩展当前状态，假设当前需要insert的字母是(c)，是这个串里面的第(p)个字符，那我们需要找到一个后缀(s[j...p-1]quad s.t.quad s[j...p-1])本身回文且(s[j-1]=c)，那么就可以向下扩展。

4、考虑怎么找这个后缀，显然对于一个串(S)，他的所有回文后缀都是其最长回文后缀的回文后缀。所以考虑(fail)指针，应当从当前状态连向它的最长回文后缀。

5、插入新节点时，考虑跳完(fail)后如果没有相应的转移边，就要新建一个状态然后连(fail).

然后是代码和一点注意：

struct PAM{
	int trie[MAXN][Sigma] ;
	int rt0, rt1, last, sz ;
	int len[MAXN], fail[MAXN] ;
}P ;
void _init(PAM &p){
	p.sz = -1, 
	p.rt0 = ++ p.sz, p.rt1 = ++ p.sz ;
	p.fail[p.rt0] = p.fail[p.rt1] = p.rt1 ;
	p.last = p.rt0, p.len[p.rt0] = 0, p.len[p.rt1] = -1 ; 
}
void _insert(PAM &p, int x, int pos, char *s){
	int u = p.last ; 
	while (s[pos - p.len[u] - 1] != s[pos]) u = p.fail[u] ; 
	if (!p.trie[u][x]){
		int fa = p.fail[u] ;
		int newn = ++ p.sz ; 
		p.len[newn] = p.len[u] + 2 ; 
		while (s[pos - p.len[fa] - 1] != s[pos]) fa = p.fail[fa] ; 
		p.fail[newn] = p.trie[fa][x], p.trie[u][x] = newn, 
	}
	p.last = p.trie[u][x] ;
}

6、( m color{red}{WARNING})，以下两句顺序不要写反：

p.fail[newn] = p.trie[fa][x], p.trie[u][x] = newn, 

原因是当(fa=u)时就出现环了。

(3) 闲扯

学完才知道，( m PAM)又简单又好背功能又多……Manacher被打爆了啊喂qwq。