写在前面：群真的太强大了！感觉学会了群就学会了什么不得了的东西(233)
群的定义((Definition~of~Group))
比较简单的来讲，所谓群(( m{group}))指的是一类特殊的集合，这个集合包含一组元素和大于等于一个的运算，比如乘法群救记作((G,cdot))。那么平凡来讲，群满足下列几个性质：
我们假定一个平凡的群(G)支持(color{purple}{qwq})这种运算：
(Property1~~)封闭性$$forall ain G, bin G, a~color{purple}{qwq}~b in G$$
(Property2~~)运算的结合性$$(a~color{purple}{qwq}~b) ~color{purple}{qwq}~ c=a~color{purple}{qwq}~ (b ~qwq~ c)$$
(Property3~~)存在单位元（幺元）满足以下定义：$$exists ein G, s.t. forall ain G, e~color{purple}{qwq}~ a=a~color{purple}{qwq}~e=a$$
(Property4~~)对于每个元素，存在逆元，即满足 $$forall ain G, exists bin G, s.t. a~color{purple}{qwq}~ b=b~color{purple}{qwq}~a=e$$
那么也就是说的直白点吧，对所有的元素，做完该群所带有的带有结合律的运算之后，所得结果仍然属于该群且一定存在单位元，对于每个元素存在运算逆元。
那我们不妨定义一些其他的：
阿贝尔群((Abel~ Group))：即交换群——运算满足交换律的群。
半群：满足封闭性和结合律的群。
有限群((Finite~Group))：元素个数有限的群称为有限群,而有限群的元素个数称作有限群的阶
结合几个例子来解释一下：
比如以下是几个乘法群$$(Qsetminus{0}~,~cdot)~, ~ (Csetminus{0}~,~cdot)$$(Rsetminus{0}~, ~cdot)~,
他们都不能包括(0)这个元素，因为这个元素显然是没有逆元的。
或者一个好玩儿的乘法群$$({1,-1}~~, ~~cdot)$$或者是所有非奇异的(n)阶矩阵也可以组成一个乘法群。
或者是$$(Z~,~+)$$这个群比较经典(233)，其中我们借助这个来练习一下如何判断是否成群,首先思考，这个东西一定是封闭的，因为最后会收敛于(pm inf)所以一定封闭，其次运算是一定符合结合律的，然后单位元肯定就是(0)，最后逆元的话，对于(n)那就一定是(-n)了（紧扣定义即可）。
(Extra Things :)
以下是两种复合抽代数据结构（名字自己起的(233)）：
环：定义在两个运算上，((G,+,cdot))其中((G,+))是阿贝尔群，((G,cdot))是半群
举例子：(Z), (R[x])，即整数环和(R)上的所有多项式的集合。
域：同样定义在两个运算上，((F,+,cdot))其中((F,+))是阿贝尔群，((Fsetminus{0},cdot))是阿贝尔群
举例子 ：(Q,R,C)即有理数域、实数域和复数域。
好的，那我们尝试证明两个命题：
(Proposition1~~~~)一个群中的单位元唯一
设有两个单位元(e_1,e_2)
那么(e_1=e_1e_2=e_2)，其实是一个(233)
(Proposition2~~~~)群中元素的逆元唯一
以乘法群为例，假设(a)有两个逆元(b,c)，那么一定会有$$b = b cdot(a cdot c) = (b cdot a) cdot c = c$$
显然也是同一个。
那么此时我打算整理一个群的共性特征：
很显然，证明如下：
提这个的目的就是，我们发现在矩阵的相关内容里面也有这件事儿~所以就很开心
那么之后我们讨论周期
对于一个元素(a in G)而言，我们记(a)的周期是(o(a))
(o(a))表示最小正整数，使得(a^{o(a)}=e)
子群及其衍生
本节所指“群”没有特别说明便均为有限群
不妨先给出子群的浅显版定义：
如果对于一个群((G, C)) ，其中(Hsubseteq G),，且 ((H,C))是群，那么我们称在运算(C)下，(H)是(G)的子群，用(Hleq G)表示
那么从而我们可以定义生成子群这个东西：
生成子群：若(S subseteq G)， 并且对于运算(C)而言，((G,C))也是一个群，那么就称(G)为集合(S)在运算(C)下的生成子群。集合(S)的生成子群用(<S>)表示
这之后我们就可以定义陪集这个概念
陪集一般上包含左陪集和右陪集。
左陪集：如果(H leq G)，对于(a in G)，定义集合(H_a = {xin G~|~ exists hin H, ah=x})为(H)的与元素(a)左陪集。
右陪集： 如果(H leq G)，对于(a in G)，定义集合(H_a = {xin G~|~ exists hin H, ha=x})为(H)的右陪集。
(233)也可以叫做傍集或者旁系之类的~
那么我们这个地方先只研究右陪集(233)
(Lemma1:)
我们首先证明一点：(|H|=|H_a|)，其中长得像绝对值符号的竖线表示的是有限群的群中元素数量。
这个其实比较显然，因为事实上群都是定义在非可重集上面的。
较为严谨的证明如下：
(Proof.)
对于(H leq G)，如果(h_1 eq h_2 in H)，那么(h_1a eq h_2a)
反证：若(h_1a=h_2a)，(h_1aa^{-1}=h_2aa^{-1},~h_1=h_2)矛盾
对于不同的(h)，(ha)互不相同，因此(|H_a|=|H|)
(Lemma2:)
之后我们再证明一些好玩儿的：
命题：(H_a=H_b)当且仅当(ab^{-1}in H)
看起来好像不是那么好玩……
(Proof.)
若(H_a=H_b)，则(eain H_a)，即(ain H_b)，那么(exists hin H,~a=hb),那么(ab^{-1}=h)
若(ab^{-1}in H)，那么(ha=ha(b^{-1}b)=(hab^{-1})bin Hb)，因此(H_asubseteq H_b)
(hb=hb(a^{-1}a)=h(ab^{-1})^{-1}ain H_a)，故(H_bsubseteq H_a)
因此(H_a=H_b)
那么我们还可以有一个推论：
若(H_a eq H_b)，那么(H_acap H_b = emptyset)
(Proof.)
假设(xin H_acap H_b)， 则(exists h_1,h_2in H)，(h_1a=h_2b=x) ， 那么(ab^{-1}=h_1^{-1}h_2in H)，那么(H_a=H_b)，矛盾
从而还可以有个定理（(Lagrange)定理）：
由于(forall gin G)， (gin Hg)，所以(G)中每个元素都在某个傍集中。用([G:H])表示不同的傍集数，那么
也就是说(|H|)是(|G|)的约数。
这个其实很显然，因为不同元素的傍集如果不同就不会有交集，如果相同就不会被考虑到([G:H])里面。所以结论平凡。
但是其实这是个很伟大的定理(233)
好的，那么从而就会有一些神奇的推论：
**推论一 ： 对于一个元素(a in G)，(G)是一个群，那么(o(a) | G) **
(Proof.) 因为(o(a) = |<a>|)，由我们刚刚证明的定理可以得出(o(a) | G)
推论二：对任意的(a in G,a ^{|G|} = e)
(Proof.) 比较显然，由推论一可知。
推论三：若(|G|)为素数，则(G)是循环群
(Proof.) 若(a eq e)，那么会有(|<a>|)整除(|G|)。而由于(|G|)是个素数，所以只有可能(|G| = |<a>|) ，所以(G)是个循环群。
接下来我们真的要去做些好玩的了~
定理(1)·(Fermat)小定理
如果(p)为素数，那么存在$a^{p-1} equiv 1 (mod p) $
$Proof. $
考虑质数(p)，考虑群(G={1,2,dots,p-1})，群的运算定义为对(p)取模的乘法，那么由(Lagrange)可知：
定理2·(Euler)定理
(a^{phi(n)}=1 (mod n))
(Proof.)
考虑(nin N^{+})，考虑群(G={1leq xleq n~|~gcd(x,n)=1}),群的运算定义为对(n)取模的乘法
那么会有(|G|=phi(n))，从而有：
没错，证明十分的简洁美观。
作者被这种神奇的证明给折服了(stO).