Part 2R 导数与微分（反例）

专题复习

连续，可导，可微，连续可导与导函数的极限

函数在某点有极限(xrightarrow{推不出1})该点连续（特殊极限）(xrightarrow{推不出2})该点可导（光滑）(xrightarrow{推不出3})（进入邻域讨论）该点某邻域内连续(xrightarrow{推不出4})导数在该点有极限（去心邻域性质）(xrightarrow{推不出})导数在该点连续（不去心）(cdots(升阶循环))

• (1^。) 例如可去间断点处：有极限但不连续
• (2^。) 例如(y=|x|， y=xsinfrac{1}{x})：(x=0)点连续但不可导（左右导数不相等或者，单侧导数不存在）同时对于(y=xcdotsinfrac{1}{x})邻域内不连续不可导
• (3^。) 我们可以举出反例：

[f(x)=egin{cases} x^2, &xinmathbb{Q}\ 0,&otherwise end{cases} ]

这个例子中函数仅在(x=0)处连续

• (4^。) 例如(y=x^2sin frac{1}{x})：原函数在(x=0)处连续且可导，存在去心邻域内连续且可导，但导函数在(x=0)处无极限（利用极限存在的四则运算性质），故任意邻域内导数不连续，从而也有任意邻域内不可二阶导
• 导函数无第一类间断，所以如果导函数不连续，仅仅可能是第二类间断，利用(sinfrac{1}{x})类的变态函数可以构造出无穷或者震荡间断点。
• 从而对于洛必达法则使用过程，由于需要某去心邻域导函数连续，(x=x_0)处(n)阶可导意味着可以洛到(n-1)阶，(n)阶连续可导可以洛到(n)阶。（实质是某点有定义推不出该点连续）
• 若(f''(x_0))存在，隐含在(U(x_0))内(f'(x))存在，则(f(x))当(xin U(x_0))必然连续（可导意味着该点连续，从而能推出该点邻域有定义，再推出该点有定义）

典型的不可导点

1. 无定义的点,没有导数存在(D.N.E.= do not exists)，例如分子为0的点；(无定义)
2. 不连续的点,或称为离散点,导数不存在；(不连续)
3. 连续点,但是此点为尖尖点,左右两边的斜率不一样,也就是导数不一样,不可导；(不光滑)
4. 有定义,连续、光滑,但是斜率是无穷大.(导数值为∞)