Part 7 曲线积分

第一型曲线积分

第一型曲线的应用背景

弧长

加权曲线

(mathrm I) 型曲线积分定义

分割，取近似，作和，取极限。
极限存在，与分割法无关

空间曲线弧长；加权（线密度）的平面（权连续的）曲线。
总结成一般的点函数形式(int_{Gamma_{AB}}f(p)\,mathrm ds=limlimits_{lambda o0}sumlimits_{i=1}^nf(p_i)Delta s_i)

再说意义

弧长

(sumlimits_{k=0}^n|M_{k-1}-M_k|)的上确界
分段光滑曲线（可分为有限段光滑曲线）是可求长的。
(可积性)

加权曲线

物质曲线的质量 空间柱面（将质量的值在新一维展开）

性质

连续函数：在某个包含L的区域上连续

• 可积性：若(f)是曲线L上的连续函数，则可积
• 线性性质
• 区间可加性
• 保序性
• 绝对值不等式
• 积分中值定理

分类

平面

这个是定积分的自然延伸。

空间

计算

利用弧微分可以化为一次积分：

liu:

• 空间柱面的面积（以直代曲）
• 物质曲线的质量（以点代线）
• 曲线弧长（分段光滑可求长）
• 第一型曲线积分的定义
• 计算：平面（直角极参方）、空间（补充等距映射）
• 几个计算性质（对称性、轮换）

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以下类似地我们可以给出：

第一型曲面积分

有界分片（有限个数的间断点）曲面块上光滑。

计算

由于是等式关系，可以解出第三个元素，化成二重积分

第二型曲线积分

引入：变力沿平面曲线做功。
也可以用一型曲线积分表示
定义（轻概念理论？）

性质

• 有向性：类似做功（补充闭路积分的记号）
• 线性性质
• 基向独立性：（投影）由平面曲线推广到空间曲线的基础

说明

• 上下限对应起终点，不考虑大小关系
• 一型曲线积分还要计算弧微分带来的导弦。由于基向独立，直接利用链式法则代入计算（证明利用积分中值定理），只需解决一元定积分。（本质都是代入求解，别想多了）
• 计算的一般方法：
  • 1. （直接法）分段，化成参方，求导整理得解；分方向化成一型曲线积分
  • 2. 格林公式（不管是直接格林还是补线都是很好用的）
• 方法的寻找思路：
  • 是否封闭 ? 格林 : (是否与路径无关?改换路径、原函数 : 直接、补线格林)

二型曲线积分的对称性

"功"的对称性：时常发生力反方向不反或者方向反力不反从而抵消。

两类曲线积分的关系

(overrightharpoon{F}cdot(Delta x_i, Delta y_i, Delta z_i)sim overrightharpoon{F}(x'(t_i), y'(t_i), z'(t_i))Delta {f s}_i=(P, Q, R)cdot (cosalpha, coseta, cosgamma)cdot\,mathrm ds=(Pcosalpha+Qcoseta+Rcosgamma)sqrt{x'(t_i)^2+y'(t_i)^2+z'(t_i)^2}Delta t_i)，其中(s_i)是有向线段。

格林公式

区域和边界

单连通和多连通

看边界由几条曲线构成

边界的定向

规定：路径在左边的走法是正向

半证明

运用Newton-Leibniz

[iintlimits_{D}frac{partial P}{partial y}\,mathrm dx\,mathrm dy=int_a^bmathrm dxint_{y_1}^{y_2}frac{partial P}{partial y}\,mathrm dy=int_a^b[P(x, y_2(x))-P(x, y_1(x))]\,mathrm dx ]

对区域边界的重积分进行线性加和

[oint_{L^+}P\,mathrm dx=int_a^bP(x, y_1(x))\,mathrm dx+int_b^aP(x,y_2(x))\,mathrm dx=-int_a^b[P(x, y_2(x))-P(x, y_1(x))]\,mathrm dx ]

对比即得。

为什么(frac{partial P}{partial y})带符号？因为P是x的对应系数。而x增大的一条边的y值较小。想要y由小到大，必须这么干。

格林公式还给我们指出了提出(mathrm dy， mathrm dx)后的符号变化原则，即提(x)不变号，提(y)取负号。

例

[frac{x\,mathrm dy-y\,mathrm dx}{x^2+y^2}=mathrm darctan Big(frac{y}{x}Big)=mathrm d heta ]

经由这个式子的分子我们本可以求算封闭曲线围成的面积，这个式子。但在这个封闭曲线中不包括(0, 0)这个极点（恰巧也是我们这个函数的奇点）的话，由极坐标的观点，我们不难看出，在转一圈的过程当中，两次扫过这个封闭曲线围成的面积。一次极轴长对应正，一次对应负。两相抵消。
这个结论我们也可以通过格林公式进行验证。

[frac{partial P}{partial y}=frac{partial Q}{partial x}=frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} ]

即

[frac{partial Q}{partial y}-frac{partial P}{partial x}=0 ]

若包含了原点的话，绕一圈可以得到(2pi)

关于求面积，只是构造出归一化结构而已。(y\,mathrm dy-y\,mathrm dx)

格林公式的切向矢量((cosalpha, coseta))作变化

[(cosalpha+icoseta)cdot (-i)=(coseta-icosalpha) ]

得到法向矢量((coseta, -cosalpha))，再做类似的数学推导得到散度公式。

[oint_{L}overrightarrow{F}cdot overrightarrow{n}\,mathrm ds=iint_Dleft(frac{partial P}{partial x}+frac{partial Q}{partial y} ight) \,mathrm dsigma]

由此我们利用方向导数的知识，对(u(x,y)in C^2(D))有

[frac{partial u}{partial overrightarrow{n}}=left(frac{partial u}{partial x},frac{partial u}{partial y} ight)cdotoverrightarrow{n} ]

还可以得到

[oint_L frac{partial u}{partial overrightarrow{n}}\,mathrm ds=iint_DDelta u\,mathrm dsigma ]

其中的一步变化是利用散度的格林公式，对两维均取偏导且为正，(frac{partial^2u}{partial x^2}+frac{partial^2u}{partial y^2}=Delta u)

平面第二型曲线积分与路径无关的条件

定理

• （保守向量场）任意闭环积分为零
• （可凑微分）
• （两微分相等）要保证单连通（确保圈出的区域均满足两微分相等）

推导

2. 必要性：由于与积分路径无关，我们构造只关心起终点的辅助函数
   [u(x,y)=int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P\,mathrm dx+Q\,mathrm dy ]

[u(x_1+Delta x, y_1)-u(x_1, y_1)\=int_{(x_1,y_1)}^{(x_1+Delta x,y)}P\,mathrm dx+Q\,mathrm dy=int_{x_1}^{x_1+Delta x}P(x,y_1)\,mathrm dx ]

从而我们得到

[frac{partial u}{partial x}=P ]

同理可得(partial y)，随后发现可凑微分
充分性：先已知可凑微分。
对于

[int_{widehat{AB}}P\,mathrm dx+Q\,mathrm dy=int_alpha^etaBig(P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t), y(t)y'(t)Big)\,mathrm dt\=int_alpha^etaleft(frac{partial u}{partial x}x'(t)+frac{partial u}{partial y}y'(t) ight)\,mathrm dt=u(x(t), y(t))Big|_alpha^eta=u(B)-u(A) ]

应用

求原函数

先说明无关，然后用
偏积分，凑微分

some points

几道例题

（ljm例1）

• 圆弧所得结果常有(pi)

• 特别要注意这个上下限的问题。

• 多条路径二型曲线积分的结果相同的条件是，原积分表达式可以写成一个函数的全微分

• 计算的时候，先将参数方程列出来，并求导数。

• 计算的一般方法：

  • 坐标系转换
  • 两种对称性

例
求

[frac{(x+y)\,mathrm dx-(x-y)\,mathrm dy}{x^2+y^2} ]

求解时可由(frac{x\,mathrm dy-y\,mathrm dx}{x^2+y^2}=\,mathrm darctanleft(frac{y}{x} ight)=\,mathrm d heta).

例 （北大P77）求曲线积分(oint_{L^+}frac{-(x+y)\,mathrm dx+(x-y)\,mathrm dy}{x^2+y^2})，其中(L^+)为光滑的闭曲线。
考虑格林公式的奇点，由于原点处无定义，所以若要使用格林公式，区域不应包括原点。分类讨论：

若不包含原点，可以用格林公式得出结果为零。
若包含原点，那么挖去内心后，内外两环都是包围的面积，而内层的是易解的，为(2pi)故外层亦得。

通量与散度

通量是很直观的封闭面的进出

[iintlimits_{Sigma}overrightarrow{A}cdot overrightarrow{n}\,mathrm dS ]

散度进行了数学优化，在一般情况下也可以求解。大致反映了场密度。

[egin{aligned} {f{div}}\,overrightarrow{A}&=limlimits_{Omega o M}frac{1}{V}oiint_{Omega}overrightarrow{A}cdot overrightarrow{n}\,d S\ &=frac{partial P}{partial x}+frac{partial Q}{partial y}+frac{partial R}{partial z}end{aligned} ]

物理意义是封闭曲面的通量对体积的平均（打散了的密度）。

流量和旋度

[egin{aligned}&limlimits_{Sigma o M}frac{1}{S}oint_Gammaoverrightarrow{A}cdotoverrightarrow{ au}\,mathrm dell\ =&iint_Omegaleft(left(frac{partial R}{partial y}-frac{partial Q}{partial z} ight)\,mathrm dy\,mathrm dz+left(frac{partial P}{partial z}-frac{partial R}{partial x} ight)\,mathrm dz\,mathrm dx+left(frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y} ight)\,mathrm dx\,mathrm dy ight) \=&oint_{partialOmega}(P\,mathrm dx+Q\,mathrm dy+R\,mathrm dz)\ end{aligned}]

它的值和

[left|egin{matrix} i&j&k\\ frac{partial}{partial x}&frac{partial}{partial y}&frac{partial}{partial z}\\ P&Q&R end{matrix} ight| ]

相同，
这正是一个上凸曲面的Stokes公式的行列式，利用格林公式的思想可以想见，这个积分转化成边界的第二型曲线积分。