换零钱 动态规划解法 C语言描述

题目

已知有三种人民币，分别为1元、2元、5元。求10元可以有多少种换成上述三种零钱的方法（不限制每种人民币的数量）。

原理

设有a种面值的人民币，设总价格为b，取a种面值中的一种，设其面值为d，则有：

使用a种面值将总价格b换取零钱的方法数量 =

使用a种面值将总价格(b-d)换取零钱的方法数量 + 使用(a-1)种面值将总价格b换取零钱的方法的数量(其中没有面值d的人民币)

可以对照下表理解原理：

		1元	1元、2元	1元、2元、5元
		1,	1,2	1,2,5
0元	0	1	1	1
1元	1	1	1	1
2元	2	1	2	2
3元	3	1	2	2
4元	4	1	3	3
5元	5	1	3	4
6元	6	1	4	5
7元	7	1	4	6
8元	8	1	5	7
9元	9	1	5	8
10元	10	1	6	10

如果设上表为二维数组A，横向表头取值1、1,2，1,2,5，纵向表头取值为1~10。一些具体的等式如下：

A[2][1,2] = A[0][1,2] + A[2][1] = 1 + 1 = 2
A[3][1,2] = A[1][1,2] + A[3][1] = 1 + 1 = 2
A[4][1,2] = A[2][1,2] + A[4][1] = 2 + 1 = 3
A[5][1,2] = A[3][1,2] + A[5][1] = 2 + 1 = 3
A[6][1,2] = A[4][1,2] + A[6][1] = 3 + 1 = 4

A[5][1,2,5] = A[0][1,2,5] + A[5][1,2] = 1 + 3 = 4
A[6][1,2,5] = A[1][1,2,5] + A[6][1,2] = 1 + 4 = 5
A[9][1,2,5] = A[4][1,2,5] + A[9][1,2] = 3 + 5 = 8
A[10][1,2,5] = A[5][1,2,5] + A[10][1,2] = 4 + 6 = 10

代码

如果理解了原理，那么代码很简单。唯一需要注意的是，我们不需要保存中间量，因此一维数组完全可以胜任，秘密在于分层计算，这一步累加最为重要A[j] += A[j - kind[i]];

#include <stdio.h>

int count_change(int n)
{
	int A[n + 1];
	int kind[3] = {1, 2, 5};
	A[0] = 1;
	for (int j = 1; j <= n; j++)
		A[j] = 0;
	for (int i = 0; i < 3; i++)
	{
		for (int j = kind[i]; j <= n; j++)
		{
			A[j] += A[j - kind[i]];
		}
		for (int j = 0; j <= n; j++)
		{
			printf("%d ", A[j]);
		}
		printf("

");
	}
	return A[n];
}

int main(void)
{
	int result = count_change(10);
	printf("%d
", result);
	return 0;
}