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  • C-整数划分

    将正整数 n 表示成一系列正整数之和, n=n1+n2+…+nk, 其中 n1>=n2>=…>=nk>=1  k>=1  
    正整数 n 的这种表示称为正整数 n 的划分。正整数 n 的不同的划分个数称为正整数 n 的划分数,记作 p(n)  
    例如正整数 6 有如下 11 种不同的划分,所以 p(6)=11  
    6;
    5+1;
    4+2,4+1+1;
    3+3,3+2+1,3+1+1+1;
    2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;
    1+1+1+1+1+1.

    在正整数 n 所有不同的划分中,将最大加数 n1 不大于 m 的划分个数记作 q(n,m) ,称它为属于 n 的一个 m 划分。根据 n 和 m 的关系,考虑以下几种情况:  

            (1)当 n=1 时,不论 m 的值为多少( m>0) ,只有一种划分即 {1};   例如上述p(1,1) = 1.全部由1组成。

            (2)  当 m=1 时,不论 n 的值为多少,只有一种划分即 n 个 1 ; p(6,1)= {1,1,1,...,1} = 1;

            (3)  当 n=m 时,根据划分中是否包含 n ,可以分为两种情况

                  (a). 划分中包含 n 的情况,只有一个即 {n} ;

                  (b). 划分中不包含 n 的情况,这时划分中最大的数字也一定比 n 小,即 n 的所有 (n-1) 划分。

           也就是说,q(n,n)代表最大的加数不大于n;

                q(n,n-1) 代表最大加数不大于n-1;

                1 代表 最大加数n

                  因此 q(n,n) =1 + q(n,n-1);

            (4) 当 n<m 时,由于划分中不可能出现负数,因此就相当于 q(n,n) =q(n,m) ,(m>n>1);

            (5) 但 n>m 时,根据划分中是否包含最大值 m ,可以分为两种情况:

                   (a). 划分中包含 m 的情况,即 {m, {x1,x2,...xi}}, 其中 {x1,x2,... xi}  的和为 n-m ,可能再次出现 m ,因此是( n-m )的 m 划分,因此这种划分个数为 q(n-m, m);包括m的总数就是{x1,x2,... xi} 最大加数不大于m的总数(现在已经有一个m了,从剩下的{x1,x2,... xi}找到不大于m的总数就行)。

                   (b). 划分中不包含 m 的情况,则划分中所有值都比 m 小,即 n 的 (m-1) 划分,也就是最大数不大于m-1的个数,个数为 q(n,m-1);

                  因此 q(n, m) = q(n-m, m)+q(n,m-1);

          p(n,m) = {  1,                       m= 1;

               |  p(n,n)                  m>n;

               |  1+p(n,m-1)          n=m;

                                  {   p(n,m-1) +p(n-m,m); n>m>1

    int p(int n,int m)

    {

      if(m=1) return 1;

      if(m>n) return p(n,n);

      if(m==n) return p(n,m-1)+1;

      return p(n,m-1)+p(n-m,m);

    }

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