二项式定理

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二项式定理

((x + y)^n =C_{n}^{0}x^ny^0+C_{n}^{1}x^{n-1}y^1+ cdots +C_{n}^{n}x^0y^n = sumlimits_{i=0}^{n}C_{n}^{i} x^{n-i}y^{i})

证明

((x+y) ^ 1 = x + y \ sumlimits_{i=0}^{1} x^{1-i}y^i = x^1y^0+x^0y^1=x+y)

所以当 (n=1) 的时候二项式定理成立。
设 (m=n+1)，而且 ((x+y) ^ n = sumlimits_{i=0}^{n}C_{n}^{i} x^{n-i}y^{i}) 成立。

(egin{aligned}(x+y)^m &= (x+y) imes (x+y)^{m-1} \\ &= (x+y) imes sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}x^{n-i}y^i \\ &=x imes sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}x^{n-i}y^i + y imes sum_{j=0}^{n}C_{n}^{j}x^{n-j}y^j ext{ （去括号）}\\ &= sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}x^{n-i+1}y^i + sum_{j=0}^{n}C_{n}^{j}x^{n-j}y^{j+1} ext{ （把 x，y 乘进去）}\\ &=x^{n+1}+sum_{i=1}^{n}C_{n}^{i}x^{n-i+1}y^{i}+sum_{j=0}^{n}C_{n}^{j}x^{n-j}y^{j+1} ext{ （提出 i=0 的那一项）}\\ &=x^{n+1}+sum_{i=1}^{n}C_{n}^{i}x^{n-i+1}y^{i}+sum_{i=1}^{n+1}C_{n}^{i-1}x^{n-i+1}y^{i} ext{ （用 i-1 表示 j）}\\ &=x^{n+1}+sum_{i=1}^{n}C_{n}^{i}x^{n-i+1}y^{i}+y^{n+1}+sum_{i=1}^{n}C_{n}^{i-1}x^{n-i+1}y^{i} ext{ （提出 i=n+1 的那一项）}\\ &=x^{n+1}+y^{n+1}+sum_{i=1}^{n}(C_{n}^{i-1}+C_{n}^{i})x^{n-i+1}y^i ext{ （合并一下两个求和）}\\ &=x^{n+1}+y^{n+1}+sum_{i=1}^{n}C_{n+1}^{i}x^{n-i+1}y^i （C_{n}^{i-1}+C_{n}^{i}=C_{n+1}^{i}）\\ &=sum_{i=0}^{n+1}C_{n+1}^{i}x^{n+1-i}y^{i}end{aligned})

所以当 (m=n+1)时二项式定理也成立，证毕。