欧几里德算法及其扩展（推导&&模板）

有关欧几里德算法整理：

1.一些相关概念： 

   <1>.整除性与约数：

           ①一个整数可以被另外一个整数整除即为d|a(表示d整除a，通俗的说是a可以被d整除），其含义也可以说成，存在某个整数k，使得a=kd.
           ②如果d|a且d>=0,则称d是a的约数。                  
           ③如果d|a,则-d|a，即a的任何约数的负数同样可以整除a.但一般规定，约数为非负数。非零整数a的约数应至少为1，且d<=|a|.      
           ④因子：整数a的非平凡约数（除了1和它本身的约数）称为a的因子。     

   <2>.素数和合数.   

   <3>.除法定理：        
           对于任何整数a和任何正整数n，存在唯一整数q和r，满足0<=r<n,且a=qn+r.

        等模：               
           根据整数模n的余数，我们可以将所有的整数划分成n个等分类。包含整数a的模n等价类为：[a]n={a+kn}

   <4>.公约数与最大公约数：
       ①概念：
           公约数：如果d是a的约数并且d也是b的约数，则d是a与b的公约数；
           两个不同时为0的整数a与b的公约数种最大的称为其最大公约数，记作gcd(a,b);
       ②基本性质：
           公约数的重要性质：若d是a,b的公约数，则d|(a+b)且d|(a-b);且对任意整数x,y,有d|(ax+by);
           gcd函数的基本性质略简单不提；
           
           若任意整数a,b不都为0，则gcd(a,b)为a与b的线性组合集{ax+by:x,y属于Z}的最小正整数。

这里略带证明一下：

      设s是a与b的线性组合集合中的最小正元素，并且对某个x，y属于Z,有s=ax+by,设q=a/s.
      a mod s=a-qs;
      由于0<=a mod s<s
      =>a mod s=0
      =>s|a;
      同理，s|b
      =>s是a与b的公约数，满足gcd(a,b)>=s;
      又gcd(a,b)|s,s>0
      =>gcd(a,b)<=s;
      结合以上，gcd(a,b)=s;
      

      

2.欧几里德算法：

  <1>.基本原理：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

  <2>.代码：

欧几里德算法：//递归
int gcd(int a,int b)
{
	if (b==0) return a;
	    else return gcd(b,a mod b);
} 

最小公倍数：
int gbs(int m,int n)
{    
    return m*n/gcd(m,n); 
} 

　3.扩展欧几里德算法：

  <1>.形式：d=gcd(a,b)=ax+by;

  

  <2>.推导：

     设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     

　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

代码如下

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}

　　

 如果您不太理解以上的程序，可以试着看看算法导论的伪代码：

 这个代码是实现起来和上面是一样的，只是在这里可以帮助理解

EXTENDED-EUCLID(a,b) 
    if(b=0) 
        then return (a,1,0) 
    (d1,x1,y1) <- (d1,y1,x1-a/b*y ) 
    return (d,x,y) 

　　

个人觉得，要真正理解这个算法，还是需要通过刷题来领会