划分树

昨天的杭电多校联合训练热身赛的一道题，求区间的中位数，快排会超时，划分树的模版题。。 

划分树是一种基于线段树的数据结构。主要用于快速求出(在log(n)的时间复杂度内）序列区间的第k大值 。

划分树和归并树都是用线段树作为辅助的，原理是基于快排 和归并排序 的。

划分树的建树过程基本就是模拟快排过程，取一个已经排过序的区间中值，然后把小于中值的点放左边，大于的放右边。并且记录d层第i个数之前（包括i）小于中值的放在左边的数。具体看下面代码注释。

查找其实是关键，因为再因查找[l,r]需要到某一点的左右孩子时需要把[l,r]更新。具体分如下几种情况讨论：
假设要在区间[l,r]中查找第k大元素，t为当前节点，lch，rch为左右孩子，left，mid为节点t左边界和中间点。
1、sum[r]-sum[l-1]>=k，查找lch[t],区间对应为[ left+sum[l-1] , left+sum[r]-1 ]
2、sum[r]-sum[l-1]<k,查找rch[t]，区间对应为[ mid+1+l-left-sum[l-1] , mid+1+r-left-sum[r] ]

上面两个关系在纸上可以推出来，对着上图更容易理解关系式

POJ 2104 划分树模板    http://poj.org/problem?id=2104

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 #define N 100005
 6 int a[N], as[N];//原数组，排序后数组
 7 int n, m;
 8 int sum[20][N];//记录第i层的1~j划分到左子树的元素个数(包括j)
 9 int tree[20][N];//记录第i层元素序列
10 void build(int c, int l, int r){
11     int i, mid = (l + r) >> 1, lm = mid - l + 1, lp = l, rp = mid + 1;
12     for (i = l; i <= mid; i++){
13         if (as[i] < as[mid]){
14             lm--;//先假设左边的(mid - l + 1)个数都等于as[mid],然后把实际上小于as[mid]的减去
15         }
16     }
17     for (i = l; i <= r; i++){
18         if (i == l){
19             sum[c][i] = 0;//sum[i]表示[l, i]内有多少个数分到左边，用DP来维护
20         }else{
21             sum[c][i] = sum[c][i - 1];
22         }
23         if (tree[c][i] == as[mid]){
24             if (lm){
25                 lm--;
26                 sum[c][i]++;
27                 tree[c + 1][lp++] = tree[c][i];
28             }else
29                 tree[c + 1][rp++] = tree[c][i];
30         } else if (tree[c][i] < as[mid]){
31             sum[c][i]++;
32             tree[c + 1][lp++] = tree[c][i];
33         } else{
34             tree[c + 1][rp++] = tree[c][i];
35         }
36     }
37     if (l == r)return;
38     build(c + 1, l, mid);
39     build(c + 1, mid + 1, r);
40 }
41 int query(int c, int l, int r, int ql, int qr, int k){
42     int s;//[l, ql)内将被划分到左子树的元素数目
43     int ss;//[ql, qr]内将被划分到左子树的元素数目
44     int mid = (l + r) >> 1;
45     if (l == r){
46         return tree[c][l];
47     }
48     if (l == ql){//这里要特殊处理！
49     s = 0;
50     ss = sum[c][qr];
51     }else{
52         s = sum[c][ql - 1];
53         ss = sum[c][qr] - s;
54     }//假设要在区间[l,r]中查找第k大元素，t为当前节点，lch，rch为左右孩子，left，mid为节点t左边界和中间点。
55     if (k <= ss){//sum[r]-sum[l-1]>=k，查找lch[t],区间对应为[ left+sum[l-1], left+sum[r]-1 ]
56         return query(c + 1, l, mid, l + s, l + s + ss - 1, k);
57     }else{//sum[r]-sum[l-1]<k,查找rch[t]，区间对应为[ mid+1+l-left-sum[l-1], mid+1+r-left-sum[r] ]
58         return query(c + 1, mid + 1, r, mid - l + 1 + ql - s, mid - l + 1 + qr - s - ss,k - ss);
59     }
60 }
61 int main(){
62     int i, j, k;
63     while(~scanf("%d%d", &n, &m)){
64         for (i = 1; i <= n; i++){
65             scanf("%d", &a[i]);
66             tree[0][i] = as[i] = a[i];
67         }
68         sort(as + 1, as + 1 + n);
69         build(0, 1, n);
70         while(m--){
71             scanf("%d%d%d",&i,&j,&k);// i,j分别为区间起始点，k为该区间第k大的数。
72             printf("%d\n", query(0, 1, n, i, j, k));
73         }
74     }
75     return 0;

76 }