最大流 基础

                                              图1

如图-1所示，在这个运输网络中，源点S和汇点T分别是1,7，各边的容量为C(u,v)。图中红色虚线所示就是一个可行流。标准图示法如图-2所示：

 

其中p(u,v) / c(u,v)分别表示该边的实际流量与最大容量。

关于最大流

熟悉了什么是网络流，最大流也就很好理解了。就是对于任意的u∈V-{s},使得p(s,u)的和达到最大。上面的运输网络中，最大流如图-3所示：MaxFlow=p(1,2)+p(1,3)=2+1=3。

 

在介绍最大流问题之前，先介绍几个概念：残余网络，增广路径，反向弧，最大流定理以及求最大流的Ford-Fulkerson方法。

残余网络 增广路径 反向弧

观察下图-4，这种状态下它的残余网络如图-5所示：

 

 

也许现在你已经知道什么是残余网络了，对于已经找到一条从S 到T的路径的网络中，只要在这条路径上，把C(u,v)的值更新为C(u,v)-P(u,v)，并且添加反向弧C(v,u)。对应的增广路径Path为残留网络上从S到T的一条简单路径。图-4中1，2，4，7就是一条增广路径，当然还有1，3，4，7。

此外在未做任何操作之前，原始的有向图也是一个残余网络，它仅仅是未做任何更新而已。

最大流定理

如果残留网络上找不到增广路径，则当前流为最大流；反之，如果当前流不为最大流，则一定有增广路径。

Ford-Fulkerson方法

  介绍完上面的概念之后，便可以用Ford-Fulkerson方法求最大流了。为什么叫Ford-Fulkerson方法而不是算法，原因在于可以用多种方式实现这一方法，方式并不唯一。下面介绍一种基于广度优先搜索(BFS)来计算增广路径P的算法：Edmonds-Karp算法。

  算法流程如下：

  设队列Q：存储当前未访问的节点，队首节点出队后，成为已检查的标点；

  Path数组：存储当前已访问过的节点的增广路径；

  Flow数组：存储一次BFS遍历之后流的可改进量；

  Repeat:

    Path清空；

    源点S进入Path和Q，Path[S]<-0，Flow[S]<-+∞；

    While Q非空 and 汇点T未访问 do

        Begin

            队首顶点u出对；

            For每一条从u出发的弧(u,v) do

                If v未访问 and 弧(u,v) 的流量可改进；

                Then Flow[v]<-min(Flow[u],c[u][v]) and v入队 and Path[v]<-u；

    End while

   

    If(汇点T已访问)

    Then 从汇点T沿着Path构造残余网络；

  Until 汇点T未被访问 

模版题：

POJ 1273 Drainage Ditches 

代码： 

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <queue>
 5 using namespace std;
 6 const int N=210;
 7 const int INF=0x7FFFFFFF;
 8 int n,m,map[N][N],path[N],flow[N],start,end;
 9 queue<int> q;
10 int bfs()
11 {
12      int i,t;
13      while(!q.empty()) 
14          q.pop();
15      memset(path,-1,sizeof(path));
16      path[start]=0,flow[start]=INF;
17      q.push(start);
18      while(!q.empty())
19      {
20          t=q.front();
21          q.pop();
22          if(t==end) 
23              break;
24          for(i=1;i<=m;i++)
25          {
26              if(i!=start&&path[i]==-1&&map[t][i])//找到新节点i
27              {
28                  //路径上的最小残量
29                  flow[i]=flow[t]<map[t][i]?flow[t]:map[t][i];
30                  q.push(i);//记录i的父亲，并加入FIFO队列
31                  path[i]=t;
32              }
33          }
34      }
35      if(path[end]==-1)
36          return -1;
37      return flow[m];//一次遍历之后的流量增量
38 }
39 int Edmonds_Karp()
40 {
41      int max_flow=0,step,now,pre;
42      while((step=bfs())!=-1)
43      {//找不到增广路径时退出
44          max_flow+=step;
45          now=end;
46          while(now!=start)
47          {
48              pre=path[now];
49              map[pre][now]-=step;//更新正向边的实际容量
50              map[now][pre]+=step;//添加反向边
51              now=pre;
52          }
53      }
54      return max_flow;
55 }
56 int main()
57 {
58      int i,u,v,cost;
59      while(~scanf("%d%d",&n,&m))
60      {
61          memset(map,0,sizeof(map));
62          for(i=0;i<n;i++)
63          {
64              scanf("%d%d%d",&u,&v,&cost);
65              map[u][v]+=cost;
66          }
67          start=1,end=m; 
68          printf("%d\n",Edmonds_Karp());
69      }
70      return 0;
71 }
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