线性基略解

参考资料

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《算法竞赛进阶指南》

异或空间线性基

应用背景

现在给你 (n) 个数 ({a_i})，它们可以 (mathrm{xor}) 出很多数。

我们就想，是不是可以换一个数集，使得它 (mathrm{xor}) 出来的数集和 ({a_i}) (mathrm{xor}) 出来的数集是一样的。

定义

若一个数 (b) 能由整数 (a_1,a_2,ldots,a_k) (mathrm{xor}) 出，则称 (b) 可以由(a_1,a_2,ldots,a_k) 表示。

(a_1,a_2,ldots,a_k) 能表示出的所有整数构成的数集就是一个异或空间，(a_1,a_2,ldots,a_k) 是这个异或空间的一个生成子集。

从异或空间中选出一组数，若其中的某个数能由别的数经 (mathrm{xor}) 得出，则这一组数是线性相关的。否则，这一组数是线性无关的。

异或空间的一个基是异或空间的一个线性无关的生成子集。通常我们选极大的。

一些性质

1. 线性基最高位互不相同。
2. 线性基异或空间里每个元素的表示方案数唯一。
3. 线性基的任何一个非空子集的 (mathrm{xor}) 值都不为 (0)。

证明： 倘若有这么一个非空子集 (a_1,a_2,ldots,a_j)，则 (a_1 mathrm{xor} a_2 mathrm{xor}cdots mathrm{xor} a_j=0)，即 (a_j = a_1 mathrm{xor} a_2 mathrm{xor} cdots mathrm{xor} a_{j-1})。这说明这个子集不是线性无关的。这个线性基不是线性无关的。证毕。

构造

若干数的线性基是一组数 (a_1,a_2,ldots,a_k)，其中 (a_i) 的最高位的 (1) 在第 (i) 位。（位从 (0) 开始标号）

我们将这若干数一个一个“塞进”线性基里。

对每个数 (p) 从高位往低位扫，扫到第 (x) 位为 (1) 时，若：

• (a_x) 不存在：(a_x leftarrow p)，结束扫描。
• (a_x) 存在：(p leftarrow p mathrm{xor} a_x)，继续扫描。

(p) 要么进去了，要么成 (0) 被抛弃了。所以 (0) 是不能插入线性基的qwq。

代码：

for(int i=1; i<=n; i++){
    for(int j=63; j>=0; j--)
        if(p&(1ll<<j)){
            if(!ji[j]){
                ji[j] = p;
                break;
            }
            p ^= ji[j];
        }
}

查询

某数是否存在于异或空间中

从高到低扫描 (p) 的二进制位。

若 (i) 位为 (1)，则令 (p leftarrow a_i)。

若中途 (p) 变为 (0)，则说明 (p) 存在于异或空间中。

查询异或空间最大值（SGU275）

从高位到低扫描线性基。若 (mathrm{xor}) 上可以使结果变大，则 (mathrm{xor}) 上。
这其实是对于 (ans) 有初值也适用的。
若 (ans) 没初值，并且使用和下面的第 (k) 小一样的线性基构造法的话，全异或起来也是答案。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
ll uu, ji[75], ans;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1; i<=n; i++){
		scanf("%lld", &uu);
		for(int k=62; k>=0; k--)
			if(uu&(1ll<<k)){
				if(ji[k])	uu ^= ji[k];
				else{
					ji[k] = uu;
					break;
				}
			}
	}
	for(int i=62; i>=0; i--)
		if((ans^ji[i])>ans)
			ans ^= ji[i];
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

查询异或空间最小值

位权最低的那个线性基。

long long queryMin(){
    for(int i=0; i<=62; i++)
        if(ji[i])
            return ji[i];
    return 0;
}

查询异或空间第 (k) 小值

先明确一点，异或空间是允许 (a_i mathrm{xor} a_i) 存在的，因此异或空间必定含 (0)，但是一般的题目里头都是不允许这样的。

因此，我们需要改造一下上述线性基。使他们达到“对于每个线性基，记它的为 (1) 的最高的那个二进制位为 (x)，别的线性基的第 (x) 位都不是 (1)”这样一种境界。为什么这么做下面会讲。

例如，对于整数 ({5,12,2,7,9})，它们写下来是

[egin{matrix} 0101\ 1100\ 0010\ 0111\ 1001 end{matrix} ]

最终达到的境界是

[egin{matrix} 1001\ 0101\ 0010\ 0000\ 0000 end{matrix} ]

为什么要这么做呢？我们不妨把这些线性基排个升序，则显然，异或上一个线性基一定比不异或上他大，这就是这种构造法的目的。

这样，我们就可以把 (k) 二进制拆分，根据 (k) 的二进制的每一位来决定是否要异或上它对应的线性基。

再回过头考虑 (0) 的事。我们发现，如果按照上述步骤操作，那么 (0) 在异或空间里一定是第 (0) 小的。因此，如果原数集可以 (mathrm{xor}) 出 (0)，就把 (k leftarrow k-1)，把第 (1) 小记为第 (0) 小；否则，就拿 (k) 做。这样第 (1) 小就是选上最小的那个线性基，也是正确的。

怎样判断原数集可不可以 (mathrm{xor}) 出 (0) 呢？要是他对应的简化阶梯形矩阵有全 (0) 行，就是可以 (mathrm{xor}) 出 (0) 的。这等价于线性基的大小与原数集的大小相等。

当然，还有一种可能是 (k) 大过了异或空间的大小。当原数集可以 (mathrm{xor}) 出 (0)时，异或空间有 (2^t) 个数，(k) 过大就是 (k > 2^t)。由于 (k) 要减一，就成了 (k geq 2^t)。当原数集不可以 (mathrm{xor}) 出 (0)时，异或空间有 (2^t-1) 个数，(k) 过大就是 (k geq 2^t)。发现这两个公式统一了，因此在考虑完 (0) 后判定无解就是 (k geq 2^t)。

代码(hdu3949)：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T, n, q, cnt;
ll ji[75], uu, ans;
vector<int> vec;
int main(){
	cin>>T;
	for(int ii=1; ii<=T; ii++){
		vec.clear();
		printf("Case #%d:
", ii);
		cnt = 0;
		memset(ji, 0, sizeof(ji));
		scanf("%d", &n);
		for(int i=1; i<=n; i++){
			scanf("%lld", &uu);
			for(int j=62; j>=0; j--)
				if(uu&(1ll<<j)){
					if(ji[j])	uu ^= ji[j];
					else{
						ji[j] = uu;
						cnt++;
						for(int k=j-1; k>=0; k--)
							if(ji[k] && (ji[j]&(1ll<<k)))
								ji[j] ^= ji[k];
						for(int k=j+1; k<=62; k++)
							if(ji[k] && (ji[k]&(1ll<<j)))
								ji[k] ^= ji[j];
						break;
					}
				}
		}
		for(int i=0; i<=62; i++)
			if(ji[i])
				vec.push_back(ji[i]);
		scanf("%d", &q);
		while(q--){
			ans = 0;
			scanf("%lld", &uu);
			if(cnt!=n)	uu--;
			if(uu>=(1ll<<cnt))	ans = -1;
			else
				for(int i=cnt-1; i>=0; i--)
					if((uu&(1ll<<i)))
						ans ^= vec[i];
			printf("%lld
", ans);
		}
	}
	return 0;
}

可重异或空间

上述讨论都是不可重异或空间。事实上，如果有 (n) 个整数，他们有一组线性基 (mathcal{B})，那么记 (n) 个整数的所有子集的 (mathrm{xor}) 值组成了一个可重集 (mathcal{A})，(mathcal{B}) 的所有子集的 (mathrm{xor}) 值组成了一个可重集 (mathcal{C})，则 (mathcal{C}) 中的每个元素在 (mathcal{A}) 中出现了 (2^{n-|mathcal{B}|}) 次。

例题

bzoj2460 [BeiJing2011]元素

显而易见每个矿石至多选一个。且这些矿石的编号不能有 (mathrm{xor}) 起来为 (0) 的。想到依照魔力值排序后依次插入编号，构造出一组极大线性基。

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n, ans;
ll ji[75];
struct Node{
	int val;
	ll num;
}nd[1005];
bool cmp(Node x, Node y){
	return x.val>y.val;
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		scanf("%lld %d", &nd[i].num, &nd[i].val);
	sort(nd+1, nd+1+n, cmp);
	for(int i=1; i<=n; i++){
		for(int j=63; j>=0; j--)
			if(nd[i].num&(1ll<<j)){
				if(!ji[j]){
					ji[j] = nd[i].num;
					ans += nd[i].val;
					break;
				}
				nd[i].num ^= ji[j];
			}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

luogu4151 [WC2011]最大XOR和路径/bzoj2115 [Wc2011] Xor

任选出从 (1) 到 (n) 的一条路径，再找出所有的环的 (mathrm{xor}) 值，对其建立线性基，求出任选路径和一些环的 (mathrm{xor}) 最大值。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n, m, hea[50005], uu, vv, cnt, din;
ll ww, dis[50005], cir[200005], ji[75], ans;
bool vis[50005];
struct Edge{
    int too, nxt;
    ll val;
}edge[200005];
void add_edge(int fro, int too, ll val){
    edge[++cnt].nxt = hea[fro];
    edge[cnt].too = too;
    edge[cnt].val = val;
    hea[fro] = cnt;
}
void dfs(int x, int f){
    vis[x] = true;
    for(int i=hea[x]; i; i=edge[i].nxt){
        int t=edge[i].too;
        if(t==f)	continue;
        if(!vis[t]){
            dis[t] = dis[x] ^ edge[i].val;
            dfs(t, x);
        }
        else	cir[++din] = dis[x] ^ dis[t] ^ edge[i].val;
    }
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1; i<=m; i++){
        scanf("%d %d %lld", &uu, &vv, &ww);
        add_edge(uu, vv, ww);
        add_edge(vv, uu, ww);
    }
    dfs(1, 0);
    for(int i=1; i<=din; i++)
        for(int j=62; j>=0; j--)
            if((cir[i]>>j)&1){
                if(ji[j])	cir[i] ^= ji[j];
                else{
                    ji[j] = cir[i];
                    break;
                }
            }
    ans = dis[n];
    for(int i=62; i>=0; i--)
        if((ans^ji[i])>ans)
            ans ^= ji[i];
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

向量空间线性基

其实也很简单
loj2108/luogu3265/bzoj4004 「JLOI2015」装备购买

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long double ld;
int n, m, ans, uu, cnt;
const ld eps=1e-6;
ld ji[505][505];
bool vis[505];
struct Node{
	int val;
	ld num[505];
}nd[505];
bool cmp(Node x, Node y){
	return x.val<y.val;
}
void qwqqwqqwq(){
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int j=m; j>=1; j--)
			if(fabs(nd[i].num[j])>eps){
				if(!vis[j]){
					vis[j] = true;
					ans += nd[i].val;
					cnt++;
					for(int k=j; k>=1; k--)
						ji[j][k] = nd[i].num[k];
					break;
				}
				ld tmp=nd[i].num[j]/ji[j][j];
				for(int k=j; k>=1; k--)
					nd[i].num[k] -= tmp * ji[j][k];
			}
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int j=1; j<=m; j++)
			scanf("%d", &uu), nd[i].num[j] = uu;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		scanf("%d", &nd[i].val);
	sort(nd+1, nd+1+n, cmp);
	qwqqwqqwq();
	cout<<cnt<<" "<<ans<<endl;
	return 0;
}