lfyzoj103 割海成路之日

问题描述

现在，摆在早苗面前的是一道简单题。只要解决了这道简单题，早苗就可以发动她现人神的能力了：

输出

[1 mathrm{xor} 2 mathrm{xor} cdots mathrm{xor} n ]

输入格式

第一行是一个整数 (T)，代表有 (T) 组数据。

下来 (T) 行，一行一个整数 (n)。

输出格式

(T) 行，一行一个整数，是你的答案。

样例一

input

2
3 
5

output

0
1

数据范围与约定

对于 (30\%) 的数据，(T leq 10)，(n leq 100)。

对于 (50\%) 的数据，(T leq 100000)，(n leq 100000)。

对于另外 (30\%) 的数据，(T leq 2)，(n leq 10^{12}-1)。

对于所有的数据，(1 leq T leq 1145140)，(1 leq n leq 10^{18}-1)。

时间限制： (1mathrm{s})

内存限制： (256mathrm{MB})

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题解

本文整理自flyinghearts的博客。

记 (f(x,y)) 为从 (x) 一路异或到 (y) 的值。(mathrm{xor}) 异或，(mathrm{or}) 是或。

对于 (f(2^k,2^{k+1}-1)) 这 (2^k) 个数，它们的最高位显然是第 (k) 位。最高位的 (1) 的个数为 (2^k)。

(k geq 1) 时， (2^k) 为偶数，(mathrm{xor}) 下来成了 (0)。将这些数的最高位抹去，(f) 的值不变，则 (f(2^k,2^{k+1}-1)=f(2^k-2^k,2^{k+1}-1-2^k)=f(0,2^k-1))。

则 (f(0,2^{k+1}-1) = f(0,2^k-1) mathrm{xor} f(2^k,2^{k+1}-1)=0) 当 (k geq 1) 时。

即 (f(0,2^k-1)=0) 当 (k geq 2) 时。

对于 (n geq 4)，设其最高位 (1) 在第 (k) 位，则 (k geq 2)。

(f(0,n)=f(0,2^k-1) mathrm{xor} f(2^k,n)=f(2^k,n))

对于 (2^k sim n) 这 (n-2^k+1) 个数，最高位有 (m=n-2^k+1) 个 (1)。

(n) 与 (n-2^k) 同奇偶。

• 当 (n) 为奇数时

(m) 是偶数，则 (f(2^k,n)=f(0,n-2^k))。

递降这个公式，也即相当于不断剥去 (n) 最高位的 (1)，得到 (f(0,n)=f(0,n mod 4))。

(n equiv 1 pmod 4) 时，(f(1,n)=f(0,n)=f(0,1)=1)。

(n equiv 3 pmod 4) 时，(f(1,n)=f(0,n)=f(0,3)=0)。

• 当 (n) 为偶数时

(m) 是奇数，则 (f(2^k)=f(n-2^k) mathrm{or} 2^k)。

递降这个公式，得 (f(0,n)=eta mathrm{or} f(0,n mod 4))。

其中 (eta) 是 (n) 将第 (0,1) 位置 (0) 后的数。

(n equiv 0 pmod 4) 时，(f(1,n)=f(0,n)=n)。

(n equiv 2 pmod 4) 时，(f(1,n)=f(0,n)=n+1)。

综上所述

[f(1,n)= egin{cases} n, &n equiv 0 pmod 4\ 1, &n equiv 1 pmod 4\ n+1, &n equiv 2 pmod 4\ 0, &n equiv 3 pmod 4\ end{cases} ]

因此我们得到了 (mathrm{O}(1)) 算法