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四元数的运算
四元数是由爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿在1843年发现的数学概念。四元数的乘法不符合交换律。

明确地说，四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个四维空间，相对于复数为二维空间。

基础

定义

复数是由实数加上元素 i 组成，其中

$i^2 = -1 \,$ 。

相似地，四元数都是由实数加上三个元素 i、j、k 组成，而且它们有如下的关系：

$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \,$

每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为 $a + bi + cj + dk \,$ 。

要把两个四元数相加只需将相类的系数加起来就可以，就像复数一样。至于乘法则可跟随以下的乘数表：

× 1 i j k

1 1 i j k

i i -1 k -j

j j -k -1 i

k k j -i -1

四元数的单位元的乘法构成了八阶四元群， $Q_8$ 。

例子

假设：

$x = 3 + i \,$
$y = 5i + j - 2k \,$

那么：

$x + y = 3 + 6i + j - 2k \,$
$xy = left( {3 + i} ight)left( {5i + j - 2k} ight) = 15i + 3j - 6k + 5i^2 + ij - 2ik$
$= 15i + 3j - 6k - 5+ k + 2j = - 5 + 15i + 5j - 5k \,$

性质

四元数不像实数或复数那样，它的乘法是不可交换的，例如

$i \, j = k, \, j \, i = -k$ ；
$j \, k = i, \, k \, j = -i$ ；
$k \, i = j, \, i \, k = -j$ 。

四元数是除法环的一个例子。除了没有乘法的交换律外，除法环与域是相类的。特别地，乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有唯一的逆元素。

四元数形成一个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。

四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果，例如四元数的 n-阶多项式能有多于 n 个不同的根。例如方程式 $h^2 + 1 = 0 \,$ 就有无数多个解。只要是符合 $b^2 + c^2 + d^2 = 1 \,$ 的实数，那么 $h = b \, i + c \, j + d \, k$ 就是一个解。

一个四元数 $h = a + b \, i + c \, j + d \, k$ 的共轭值定义为：
$h^* = a - b \, i - c \, j - d \, k$
而它的绝对值则是非负实数，定义为：
$left| h ight| = sqrt {h cdot h^ * } = sqrt {a^2 + b^2 + c^2 + d^2 }$
注意 $(h \, k)^* = k^* \, h^*$ ，一般状况下不等于 $h^* \, k^*$ 。

四元数的乘逆可以 $h^{ - 1} = frac{{h^* }}{{left| h ight|^2 }}$ 算得。

透过使用距离函数 $d(h, k) = |h - k| \,$ ，四元数便可成为同胚于 $mathbb{R}^4$ 的度量空间，并且有连续的算术运算。另外，对于所有四元数 $h \,$ 和 $k \,$ 皆有 $|h \, k| = |h| \, |k|$ 。若以绝对值为模，则四元数可组成一实数巴拿赫空间。

群旋转

如四元数和空间转动条目所释，非零四元数的乘法群在R³的实部为零的部分上的共轭作用可以实现转动。单位四元数（绝对值为1的四元数）若实部为cos(t)，它的共轭作用是一个角度为2t的转动，转轴为虚部的方向。四元数的优点是：
1. 表达式无奇点（和例如欧拉角之类的表示相比）
2. 比矩阵更简炼（也更快速）
3. 单位四元数的对可以表示四维空间中的一个转动。
所有单位四元数的集合组成一个三维球S³和在乘法下的一个群（一个李群）。S³是行列式为1的实正交3×3正交矩阵的群SO(3,R)的双重复盖，因为每两个单位四元数通过上述关系对应于一个转动。群S³和SU(2)同构，SU(2)是行列式为1的复酉2×2矩阵的群。令A为形为a + bi + cj + dk的四元数的集合，其中a, b, c和d或者都是整数或者都是分子为奇数分母为2的有理数。集合A是一个环，并且是一个格。该环中存在24个四元数，而它们是施莱夫利符号为{3,4,3}的正二十四胞体的顶点。

以矩阵表示四元数

有两种方法能以矩阵表示四元数，并以矩阵之加法、乘法应用于四元数之加法、乘法。

第一种是以二阶复数矩阵表示。若 h = a + bi + cj + dk 则它的复数形式为：

$egin{pmatrix} a-di & -b+ci \ b+ci & ;; a+di end{pmatrix}$

这种表示法有如下优点：
- 所有复数 (c = d = 0) 就相应于一个实矩阵。
- 四元数的绝对值的平方就等于矩阵的行列式。
- 四元数的共轭值就等于矩阵的共轭转置。
- 对于单位四元数 (|h| = 1) 而言，这种表示方式给了四维球体和SU(2)之间的一个同型，而后者对于量子力学中的自旋的研究十分重要。（请另见泡利矩阵）
第二种则是以四阶实数矩阵表示：

$egin{pmatrix};;a&-b&;;d&-c\ ;;b&;;a&-c&-d\-d&;;c&;;a&-b\ ;;c&;;d&;;b&;;aend{pmatrix}$

其中四元数的共轭等于矩阵的转置。

四元数运算

四元数运算在电动力学与广义相对论中有广泛的应用。四元数可以用来取代张量表示。有时候采用带有复数元素之四元数会比较容易，导得结果不为除法代数之形式。然而亦可结合共轭运算以达到相同的运算结果。

此处仅讨论具有实数元素之四元数，并将以两种形式来描述四元数。其中一种是矢量与标量的结合，另一形式两个创建量(constructor)与双矢量(bivector；i、j与k)的结合。

定义两个四元数:

$q = a + vec{u} = a + bi + cj + dk$
$p = t + vec{v} = t + xi + yj + zk$

其中 $vec{u}$ 表示矢量<b, c, d>，而 $vec{v}$ 表示矢量<x, y, z>.

加、乘和一般函数

四元数加法：p + q
跟复数、矢量和矩阵一样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来：
$p + q = a + t + vec{u} + vec{v} = (a + t) + (b + x)i + (c + y)j + (d + z)k$

加法遵循实数和复数的所有交换律和结合律。

四元数乘法：pq
两个四元数之间的非可换乘积通常被格拉斯曼称为积，这个积上面已经简单介绍过，它的完整型态是：

$pq = at - vec{u}cdotvec{v} + avec{v} + tvec{u} + vec{v} imesvec{u}$

$pq = (at - bx - cy - dz) + (bt + ax + cz - dy)i + (ct + ay + dx - bz)j + (dt + za + by - xc)k \,$

由于四元数乘法的非可换性，pq并不等于qp。格拉斯曼积常用在描述许多其他代数函数。qp乘积的矢量部分是:

$qp = at - vec{u}cdotvec{v} + avec{v} + tvec{u} - vec{v} imesvec{u}$

四元数点积： p · q
点积也叫做欧几里得内积，四元数的点积等同于一个四维矢量的点积。点积的值是p中每个元素的数值与q中相应元素的数值的乘积的和。这是四元数之间的可换积，并返回一个标量。

$p cdot q = at + vec{u}cdotvec{v} = at + bx + cy + dz$

点积可以用格拉斯曼积的形式表示:

$p cdot q = frac{p^*q + q^*p}{2}$

这个积对于从四元数分离出一个元素有用。例如，i项可以从p中这样提出来：

$p cdot i = x$

四元数外积：Outer(p,q)

欧几里得外积并不常用; 然而因为外积和内积的格拉斯曼积形式的相似性.它们总是一同被提及:

$operatorname{Outer}(p,q) = frac{p^*q - q^*p}{2}$

$operatorname{Outer}(p,q) = avec{u} - tvec{v} - vec{v} imesvec{u}$

$operatorname{Outer}(p,q) = (ax - tb - cz + dy)i + (ay - tc - dx + bz)j + (az - td - by + xc)k$

四元数偶积：Even(p,q)

四元数偶积也不常用，但是它也会被提到，因为它和奇积的相似性。它是纯对称的积；因此，它是完全可交换的。

$operatorname{Even}(p,q) = frac{pq + qp}{2}$

$operatorname{Even}(p,q) = at - vec{u}cdotvec{v} + avec{v} + tvec{u}$

$operatorname{Even}(p,q) = (at - bx - cy - dz) + (ax + tb)i + (ay + tc)j + (az + td)k$

四元数叉积：p × q

四元数叉积也称为奇积。它和矢量叉积等价，并且只返回一个矢量值：

$p imes q = frac{pq - qp}{2}$

$p imes q = vec{u} imesvec{v}$

$p imes q = (cz - dy)i + (dx - bz)j + (by - xc)k$

四元数转置：p⁻¹

四元数的转置通过p⁻¹p = 1被定义。它定义在上面的定义一节，位于属性之下（注意变量记法的差异）。其建构方式相同于复倒数(complex inverse)之构造：

$p^{-1} = frac{p^*}{pcdot p}$

一个四元数的自身点积是个标量。四元数除以一个标量等效于乘上此标量的倒数，而使四元数的每个元素皆除以此一除数。

四元数除法：p⁻¹q

四元数的不可换性导致了 p⁻¹q 和 qp⁻¹的不同。这意味着除非p是一个标量,否则不能使用q/p这一符号。

四元数标量部：Scalar(p)

四元数的标量部分可以用前面所述的点积来分离出来：

$1cdot p = frac{p + p^*}{2} = a$

四元数矢量部：Vector(p)

四元数的矢量部分可以用外积提取出来，就象用点积分离标量那样：

$operatorname{Outer}(1, p) = frac{p - p^*}{2} = vec{u} = bi + cj + dk$

四元数模：|p|

四元数的绝对值是四元数到原点的距离。

$|p| = sqrt{p cdot p} = sqrt{p^*p} = sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}$

四元数符号数：sgn(p)

一复数之符号数乃得出单位圆上，一个方向与原复数相同之复数。四元数的符号数亦产生单位四元数：

$sgn(p) = frac{p}{|p|}$

四元数辐角：arg(p)

辐角函数可找出一4-矢量四元数偏离单位标量(即：1)之角度。此函数输出一个标量角度。

$arg(p) = arccosleft(frac{operatorname{Scalar}(p)}{|p|} ight)$

幂和对数

因为四元数有除法，所以幂和对数可以定义。
- 自然幂： $exp(p) = exp(a)(cos(|vec{u}|) + sgn(vec{u})sin(|vec{u}|))$
- 自然对数： $ln(p) = ln(|p|) + sgn(vec{u})arg(p)$
- 幂： $p^q = e^{qln(p)} \,$
三角函数
- 正弦： $sin(p) = sin(a)cosh(|vec{u}|) + cos(a)sgn(vec{u})sinh(|vec{u}|)$
- 余弦： $cos(p) = cos(a)cosh(|vec{u}|) - sin(a)sgn(vec{u})sinh(|vec{u}|)$
- 正切： $an(p) = frac{sin(p)}{cos(p)}$
双曲函数
- 双曲正弦: $sinh(p) = sinh(a)cos(|vec{u}|) + cosh(a)sgn(|vec{u}|)sin(|vec{u}|)$
- 双曲余弦: $cosh(p) = cosh(a)cos(|vec{u}|) + sinh(a)sgn(|vec{u}|)sin(|vec{u}|)$
- 双曲正切: $anh(p) = frac{sinh(p)}{cosh(p)}$
反双曲函数
- 反双曲正弦: $operatorname{arcsinh}(p) = ln(p + sqrt{p^2 + 1})$
- 反双曲余弦: $operatorname{arccosh}(p) = ln(p + sqrt{p^2 - 1})$
- 反双曲正切: $operatorname{arctanh}(p) = frac{ln(1+q)-ln(1-q)}{2}$
反三角函数

将这些被放到最后，是因为需要先定义四元数中的反双曲三角函数。
- 反正弦函数: $arcsin(p) = -sgn(vec{u})operatorname{arcsinh}(p sgn(vec{u}))$
- 反余弦函数: $arccos(p) = -sgn(vec{u})operatorname{arccosh}(p)$
- 反正切函数: $arctan(p) = -sgn(vec{u})operatorname{arctanh}(p sgn(vec{u}))$
(zhuan)http://fx1.uc.cn/?v=1&src=l4uLj8XQ0J2TkJjRnIybkdGRmovQnJeakZOekZWWmsfLzc7IxszMytCejYuWnJOa0Juai56Wk4zQx8%2FMxs%2FMzg%3D%3D&restype=1&ucshare=1&ucshareplatform=6&country=cn&os=adr&pf=m9eC3e756L8%3D
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原文地址：https://www.cnblogs.com/prayer521/p/4466571.html

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