动态规划学习（一）

　　如何识别动态规划的题目：

　　　　　　　　　　1.提出的问题具有最优子结构性质（每一步子问题最优，导致最后得到最优解）

　　　　　　　　　　2.无后效性（状态确定后，此后的值只和该状态有关。和达成的手段，路径无关）

　　如何解决动态规划的题目：

　　　　　　　　　　1.对原问题进行分析，将原问题划分成若干子问题，一步一步来。

　　　　　　　　　　2.确定每个子问题的状态。

　　　　　　　　　　3.从题干中确定一些初始状态（边界状态）的值

　　　　　　　　　　4.通过子问题，确认状态转移方程（从已知的出未知的方程）

　　　　　　　　　　

　　

　　动态规划经典例题：

　　　　　　　　

　　　　　　解法一（递归+动态规划）--->由于递归会导致重复运算，所以把运算过的解都存在数组中，直接调用。节省时间

 　　　　　　　　

/*
    求三角形顶点到底边的最大值
    可选择的路为正下方和右斜下方
    例：n=4
        7
        6 8
        2 1 3
        5 7 6 8
    输出： 26
    题解：数字三角形的记忆递归型动归程序
        由于用递归计算的话，需要重复计算很多数据，太耗时间
        所以将计算过一次的数据存在m数组中,就可以避免重复的计算 
*/ 

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int a[MAX][MAX];//三角形数组
int m[MAX][MAX];//存放指定顶点到底边的最大距离 
int n;//三角形的阶
 
int maxsum(int x,int y)
{
    if(m[x][y]!=-1)
        return m[x][y];//最大值已经给了，可以不用计算
    if(x==n)//到底了    
        m[x][y]=a[x][y];     
    else
        {
            int i = maxsum(x+1,y);//找出下面那个数的最大值
            int j = maxsum(x+1,y+1);//找出右下角那个数的最大值 
            m[x][y] = max(i,j)+a[x][y]; 
            
        }
    return m[x][y];
}


int main()
{
    int i;
    int j;    
    cout<<"请输入三角形的阶"<<endl;
    cin>>n;
    cout<<"请输入三角形的具体数据"<<endl;
    for(i=1;i<=n;i++) 
        for(j=1;j<=i;j++)
        {
            cin>>a[i][j];//具体数据
            m[i][j]=-1; //初始化 
        }
    cout<<maxsum(1,1)<<endl;    
    
    
    
    
    
    return 0;
}

　　　　　　

　　　　　　解法二 （递推+动态规划）-->用递推的方法，从最后一行推起，由已知推出未知

　

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define Max 101
int main()
{
    int a[Max][Max];//三角形数组
    int n,i,j;
    int sum[Max][Max];
    cout<<"请输入三角形的阶"<<endl;
    cin>>n;
    cout<<"请输入具体数据"<<endl;
    for(i=1;i<=n;i++)    
        for(j=1;j<=i;j++)
            cin>>a[i][j];
    //初始化 
    for(j=1;j<=n;j++)
        sum[n][j]=a[n][j];
    //通过递推的方法，一步一步往上加 
    for(i=n-1;i>=1;i--)
        for(j=1;j<=i;j++)
            {
                sum[i][j]=max(sum[i+1][j],sum[i+1][j+1])+a[i][j];
            }
    
    cout<<sum[1][1]<<endl;
    
    
    return 0;
}