欧拉回路总结

1.基本概念：

图G为连通图，若图G中存在一条路径经过每条边一次且仅一次，那么这条路径为欧拉路，若这条路径的起点与终点相同，那么为欧拉回路。欧拉回路是欧拉路的特例。

存在欧拉回路的图称为欧拉图。欧拉路以及欧拉回路常用于解决一笔画问题。

2.判定条件。

无向图：

　　1).欧拉路：

　　　　①图连通，可用并查集判定；

　　　　②度数为奇数的结点为2个。(一个作起点，一个作终点)

　　2）欧拉回路：

　　　　①图连通

　　　　②度数为奇数的结点为0个

有向图：

　　1）欧拉路：

　　　①图连通。从某点开始能将所有访问 dfs+vis[]，见POJ2337

　　　②起点的出度比入度大1，终点的入度比出度大1，其他结点的出度=入度

　　2）欧拉回路

　　　②图连通

　　　②所有结点的出度=入度

3.题目练习：

poj2337

思路:向前星先加入的边后访问

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <set>
using namespace std;
const int MAXN=1005;
struct Edge{
    int to;
    int next;
    int index;
    bool mark;
}es[MAXN];
int head[MAXN];
int tot;
void addedge(int u,int v,int index)
{
    es[tot].to=v;
    es[tot].next=head[u];
    es[tot].mark=false;
    es[tot].index=index;
    head[u]=tot++;
}
set<int> node;
int n;
vector<string> vec;
int indeg[30];
int outdeg[30];
int ans[MAXN];
int cnt;
void dfs(int u)
{
    for(int i=head[u];i!=-1;i=es[i].next)
    {
        if(!es[i].mark)
        {
            es[i].mark=true;
            dfs(es[i].to);
            ans[cnt++]=es[i].index;
        }
    }
}
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        node.clear();
        vec.clear();
        tot=0;
        cnt=0;
        memset(head,-1,sizeof(head));
        memset(indeg,0,sizeof(indeg));
        memset(outdeg,0,sizeof(outdeg));
        cin>>n;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            string s;
            cin>>s;
            vec.push_back(s);
        }
        sort(vec.begin(),vec.end());
        int start=100;
        for(int i=vec.size()-1;i>=0;i--)
        {
            string s=vec[i];
            int u=s[0]-'a';
            int v=s[s.length()-1]-'a';
            addedge(u,v,i);
            node.insert(u);
            node.insert(v);
            outdeg[u]++;
            indeg[v]++;
            start=min(start,u);    
        }
        int c1=0,c2=0,c3=0;
        for(int i=0;i<30;i++)
        {
            if(indeg[i]==0&&outdeg[i]==0)
                continue;
            if(indeg[i]==outdeg[i])
                c1++;
            else if(outdeg[i]-indeg[i]==1)
            {
                c2++;
                start=i;
            }
            else if(indeg[i]-outdeg[i]==1)
                c3++;
        }
        if(!(c1==node.size()-2&&c2==1&&c3==1)&&!(c1==node.size()&&c2==0&&c3==0))
        {
            cout<<"***"<<endl;
            continue;
        }
        dfs(start);
        if(cnt!=n)
        {
            cout<<"***"<<endl;
            continue;
        }
        for(int i=cnt-1;i>=0;i--)
        {
            cout<<vec[ans[i]];
            if(i>0)
                cout<<".";
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

 HDU3018

思路：求一幅图是几笔画的，答案是度为奇数的结点个数/2，注意孤立点不算，且图不连通。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <set>
using namespace std;
const int MAXN=100005;
int deg[MAXN];
int par[MAXN];
int n,m;
set<int> roots;
vector<int> nodes[MAXN];
void prep()
{
    for(int i=0;i<MAXN;i++)
    {
        par[i]=i;
    }
}
int fnd(int x)
{
    if(x==par[x])
        return x;
    return par[x]=fnd(par[x]);
}
void unite(int x,int y)
{
    int a=fnd(x);
    int b=fnd(y);
    par[a]=b;
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(int i=0;i<MAXN;i++)
            nodes[i].clear();
        roots.clear();
        prep();
        memset(deg,0,sizeof(deg));
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            deg[u]++;
            deg[v]++;
            unite(u,v);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int root=fnd(i);
            nodes[root].push_back(i);
            roots.insert(root);
        }
        int res=0;
        for(set<int>::iterator it=roots.begin();it!=roots.end();it++)
        {
            if(nodes[*it].size()==1)//孤立点不算 
                continue;
            int s=0;
            for(int i=0;i<nodes[*it].size();i++)
            {
                int u=nodes[*it][i];
                if(deg[u]%2==1)
                    s++;
            }
            if(s==0)
                res+=1;
            else res+=(s/2);
        }
        printf("%d
",res);
    }
    return 0;
}

 POJ1386

思路:一笔画问题,并查集判连通

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int indeg[30];
int outdeg[30];
int vis[30];
int par[30];
void prep()
{
    for(int i=0;i<30;i++)
    {
        par[i]=i;
    }
}

int fnd(int x)
{
    if(x==par[x])
        return x;
    return par[x]=fnd(par[x]);
}

void unite(int x,int y)
{
    int a=fnd(x);
    int b=fnd(y);
    par[a]=b;
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        memset(indeg,0,sizeof(indeg));
        memset(outdeg,0,sizeof(outdeg));
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        prep();
        int n;
        scanf("%d",&n);
        int nodes=0;
        char word[1005]="";
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%s",word);
            int len=strlen(word);
            int u=word[0]-'a';
            int v=word[len-1]-'a';
            unite(u,v);    
            if(!vis[u])
            {
                vis[u]=1;
                nodes++;
            }
            if(!vis[v])
            {
                vis[v]=1;
                nodes++;
            }
            outdeg[u]++;
            indeg[v]++;
        }
        int c1=0,c2=0,c3=0;
        for(int i=0;i<30;i++)
        {
            if(indeg[i]==0&&outdeg[i]==0)
                continue;
            if(outdeg[i]-indeg[i]==1)
            {
                c1++;
            }
            else if(outdeg[i]==indeg[i])
            {
                c2++;
            }
            else if(indeg[i]-outdeg[i]==1)
            {
                c3++;
            }
        }
        if(!(c1==1&&c2==nodes-2&&c3==1)&&!(c1==0&&c2==nodes&&c3==0))
        {
            printf("The door cannot be opened.
");
            continue;
        }
        int cnt=0;
        int root=-1;
        for(int i=0;i<30;i++)
        {
            if(vis[i])
            {
                int f=fnd(i);
                if(f!=root)
                {
                    root=f;
                    cnt++;
                }
            }
        }
        if(cnt!=1)
        {
            printf("The door cannot be opened.
");
        }
        else
        {
            printf("Ordering is possible.
");
        }
    }
    return 0;
}

 POJ2513

思路：字典树+无向图一笔画问题

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN=510005;
struct Trie{
    int val;
    Trie *next[26];
};
Trie memory[MAXN];
Trie *root;
int tot;
int deg[MAXN];
Trie* Create()
{
    Trie *p=&memory[tot++];
    for(int i=0;i<26;i++)
        p->next[i]=NULL;
    return p;
}

void Insert(char buf[],int x)
{
    int len=strlen(buf);
    Trie *p=root;
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        int k=buf[i]-'a';
        if(p->next[k]==NULL)
        {
            p->next[k]=Create();
        }
        p=p->next[k];
    }
    p->val=x;
}

int Search(char buf[])
{
    int len=strlen(buf);
    Trie *p=root;
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        int k=buf[i]-'a';
        if(p->next[k]==NULL)
        {
            return -1;
        }
        p=p->next[k];
    }
    return p->val;
}

int par[MAXN];

void prep()
{
    for(int i=0;i<=MAXN;i++)
    {
        par[i]=i;
    }
}

int fnd(int x)
{
    if(x==par[x])
        return x;
    return par[x]=fnd(par[x]);
}

void unite(int x,int y)
{
    int a=fnd(x);
    int b=fnd(y);
    par[a]=b;
}

int main()
{
    root=Create();
    int cnt=0;
    char first[15]="";
    char last[15]="";
    prep();
    while(scanf("%s%s",first,last)!=EOF)
    {
        int x=Search(first);
        int y=Search(last);
        if(x==-1)
        {
            x=cnt;
            Insert(first,x);
            cnt++;
        }
        if(y==-1)
        {
            y=cnt;
            Insert(last,y);
            cnt++;
        }
        deg[x]++;
        deg[y]++;
        unite(x,y);
    }
    int odds=0;
    int rt=-1,roots=0;
    for(int i=0;i<cnt;i++)
    {
        int f=fnd(i);
        if(f!=rt)
        {
            rt=f;
            roots++;
        }
        if(deg[i]%2==1)
            odds++;
    }
    if(roots<=1&&(odds==0||odds==2))
    {
        printf("Possible
");
    }
    else
    {
        printf("Impossible
");
    }
    
    return 0;
}