四元数旋转计算
1、复数
1.1 复数的定义
图 1 - 1
从解方程来看，方程在笛卡尔坐标系上应该都有解.
但是象这样的方程（x² + 1 = 0）还是无解，因为没有一个实数的平方等于-1。
在十六世纪，由于解方程的需要，人们开始引进一个新数，叫做虚数单位要解决这个方程 x² = -1 ,但是于任何实数的平方都是非负数矛盾，因此引入一个新的概念——复数。
虚数的定义如下 i² = -1 ①
i ^ 0 = 1
i ^ 1 = i
i ^ 2 = −1
i ^ 3 = i * i ^ 2 = −i
i ^ 4 = i ^ 2 * i ^ 2 = 1
i ^ 5 = i * i ^ 4 = i
复数的集合是一个实数和一个虚数的和，形式如下：
z = a + bi (a,b∈R, i ^ 2 = −1) ②
1.1.2 虚数的意义
图 1 - 2
假设现在点A（1， 0） 点B（-1， 0）
那么A点经过 逆时针旋转90度两次 可以到达B点
可得 1 * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = -1
设i = (逆时针旋转90度) 则i * i = -1 也就是说i是旋转量
实际上i ^ 1——i ^ 4 就是旋转360度 即虚数的周期
1.2 复数的运算
图 1 - 3
1.2.1 共轭复数
如图（1-3）所示， 根据②可得复数可以由x轴（实数轴）与 y轴（虚数轴）确定唯一的一点，而实数相同，虚数向反的复数被称为共轭复数。
如 z = a + bi 与 z’= a - bi ⑦
1.2.2 复数的加、减、乘法运算
根据定义② 复数 = 实数 + 虚数 则
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (bi + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a + c) - (bi + di) = (a + c) - (b + d)i
(a + bi) * (c + di) = ac + bci + adi + bdi * i
根据定义① = (ac - bd) + (ad + bc)i
1.2.3 复数的向量与辐角
图 1 - 4
向量： 既有绝对值大小又有方向的量
线段的长度就是这个向量的绝对值（叫做这个向量的模）
线段的方向（用箭头表示）就是这个向量的方向。
求绝对值 |a| = (a * - a)^ 1/2
a 与 -a 是数轴x上对称的两点
而复数对称的两点分别为 a + bi 与 a - bi
则 |a + bi| = [(a + bi)(a - bi)] ^ 1/2
|a + bi| = ( a ^ 2 + b ^ 2) ^ 1/2 根据定义①
这个向量与x轴构成的夹角就是复数辐角# tan(b/a)
1.2.4 复数的旋转
图 1 - 5
在数轴上任何取一点 a + bi 连续与i 相乘4次 根据定义① 可得，则几个数分别为：
1、 a + bi
2、 -b + ai
3、 -a - bi
4、 b - ai
b - ai 乘以 i 又回到了 a + bi 实际上乘以 i 是复数 a + bi (a = 0, b = 1)的特殊情况那么一般情况的复数相乘又代表什么呢？定义以下复数(n为复数向量的模)
p = n1(cosA + i * sinA)
q = n2(cosB + i * sinB)
则 pq = n1 * n2(cosA + i * sinA)(cosB + i * sinB)
= n1 * n2[(cosAcosB - sinAsinB) + i(sinAcosB + cosAsinB)]
= n1 * n2[cos(A + B) + isin(A + B)]
可得复数相乘 1、积的模 = 两复数模的积 (n1 * n2 = n1 * n2)
2、积的辐角 = 两复数辐角的和 ( A + B = A + B)
复数的相乘会使复数向量的模增加或减小，并且旋转改变该向量的方向
而旋转后的角度为原复数辐角的和 ④
根据④容易用复数求得方向
图 1 - 6
如图(1-6) 在海航上，船原来的坐标是(3 ^ 1/2, i)，经过45度的旋转后
现在船的方向是多少
复数相乘方向不考虑模的大小，因此辐角45度可以设复数为1 + i
则 (3 ^ 1/2 + i)(1 + i) = (3 ^ 1/2 - 1) + (3 ^ 1/2 + 1)i
即为此时的方向，此时的辐角为(3 ^ 1/2 + 1) / (3 ^ 1/2 - 1) = tan75
2、 四元数的定义
2.1 四元数的记法
图 2 - 1
欧拉证明了 一个旋转序列等价于单个旋转。想象一下，你有一根木棒，其中一端固定在一个地方，通过任意移动木棒，可以达到任意的角度(如图 2 - 1)
因此， 3D空间中任意角位移都可以表示成绕单一轴的单一旋转。
四元数的一般形式：
q = w + xi + yj + zk w,x,y,z∈R
四元数的简写形式：
q = [cosA, sinA * n] ⑥
= [cosA, (sinA * n_x, sinA * n_y, sinA * n_z)]
w == 木棒的长度 (i, j, k)相当于三维空间的坐标
2.1.2 复数与笛卡尔乘积
图 2 - 2
设向量OA = A， 向量OB = B, 向量OC = C
向量叉乘公式 C = A × B = |A||B|sin# #代表向量A、B之间的夹角 ④
图 2 - 3
如图(2 - 3) 假设i代表x轴的正方向， j代表y轴正方向， k代表z轴正方向
根据定义④可得 i × j = k, j × k = i
k × i = j, j × i = -k
i × k = -j, i × k = -j ⑤
可由右手定理判断正反符号，如计算i × j
第一步 将右手的4个指头指向第一个数i
第二步 将右手向j的方向转
第三步 此时拇指 指向k的正方向 则i × j = k
如计算j × i
第一步 将右手的4个指头指向第一个数j
第二步 将右手向i的方向转
第三步 此时拇指 指向k的负方向(正方向的反方向) 则j × i = -k
2.1.3 负四元数与单位四元数
设四元数q = [w, (x, y, z)], -q = [-w, (-x, -y, -z)]
设点A(x, y, z), B(-x, -y, -z), 向量_OA = (x, y, z), 向量_OB = (-x, -y, -z)
_OA = -_OB,则A,O,B三点共线，也就是说q与 -q旋转轴相同，又因为对于旋转轴，长度可以忽略不计，则对于四元数q = -q
在几何上，单位四元数的定义为乘以任意四元数q，得到的结果为q。如图2-1，将这条线段绕多少度可以变回原来的样子，显然是360度整数倍数，又根据 ⑥ 可得单位四元数为q = [cos(360n), sin(360n)n] = [1, 0] = [-1, 0]
2.1.4 四元数的模
||q|| = ||[w, (x, y, z)]|| = (w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ 1/2
= ||[w, v]|| = (w ^ 2 + ||v|| ^ 2) ^ 1/2
根据⑥，代入A和n可得：
||q|| = ||[w, v]||
= (cosA ^ 2 + (sinA||n||) ^ 2) ^ 1/2
n为单位向量，则：
||q|| = (cosA ^ 2 + sinA ^ 2) ^ 1/2 = 1
可得单位四元数的模为1
2.1.5 四元数的叉乘
q = [w1, (x1, y1, z1)]
p = [w2, (x2, y2, z3)]
pq = (w1w2 − x1x2 − y1y2 − z1z2)
+(w1x2 + w2x1 + y1z2 − y2z1)i
+(w1y2 + w2y1 + z1x2 − z2x1)j
+(w1z2 + w2z1 + x1y2 − x2y1)k
= (w1w2 − x1x2 − y1y2 − z1z2)
+ w1(x2i + y2j + z2k) + w2(x1i + y1j + z1k)
+ (y1z2 - y2z1)i + (z1x2 - z2x1)j + (x1y2 - x2y1)k
设A = (x2i + y2j + z2k)，B = (x1i + y1j + z1k)
又根据:
1、向量的点积 A ▪ B = x1x2(i * i) + y1y2(j * j) + z1z2(k * k)
= x1x2 + y1y2 + z1z2 (向量的点积是标量 此处i = j = k = 1)
2、 向量的叉乘 A × B = x1y1(i * i) + x1y2(i * j) + x1z2(i * k)
+ y1x2(j * i) + y1y2(j * j) + y1z2(j * k)
+ z1x2(k * j) + z1y2(k * j) + z1z2(k * k)
在根据⑤ 化简可得 A × B = (y1z2 - y2z1)i + (z1x2 - z2x1)j + (x1y2 - x2y1)k
则pq = (w1w2 - A ▪ B) + (w1A + w2B + A × B)
= [w1w2 - A ▪ B, w1A + w2B + A × B] ⑧
结论：四元数乘积的模等于模的乘积 ⑨——> 两个单位四元数相乘的结果还是单位四元数
假设p, q分别为单位四元数
则p = [1, 0], q = [1, 0]
||pq|| = ||1 + 0 + 0 + 0|| = ||1|| = 1
||p|| * ||q|| = ||1|| * ||1|| = 1
2.1.7 四元数共轭和逆
根据⑦可得
q’ = [w, v]’= [w, v’]
= [w, (-x, -y, -z)] ⑩
四元数的逆为 q ^ -1, 定义为四元数的共轭除以他的模
q ^ -1 = q’/ ||q||
结论：(ab) ^ -1 = (b^-1)(a^-1)
设 a = [w1, v1]
b = [w2, v2]
则 (ab)^-1 = (ab)’/ ||ab||
根据⑧ (ab) = [w1w2 - v1 ▪ v2, w1v1 + w2v2 + v1 × v2]
根据⑩ (ab)’ = [w1w2 - v1 ▪ v2, -(w1v1 + w2v2 + v1 × v2)]
b’ = [w2, -v2]
a’ = [w1, -v1]
根据⑤⑧可得
b’a’ = [w1w2 - v1 ▪ v2, -(w1v1 + w2v2 + v1 × v2)]
(b^-1)(a^-1) = b’a’/ ||b||||a||
根据⑨ ||ab|| = ||b||||a||
又因为 (ab)’ = b’a’
则(ab) ^ -1 = (b^-1)(a^-1)成立
可得 (q1q2q3...qn) ^ -1 = (qn)^-1...(q2^-1)(q1^-1)
即四元数的乘积的逆等于各个四元数的逆以相反顺序相乘 ⑪
2.1.8 四元数的旋转
根据④可得 复数的相乘可以表示2D上的旋转
那么四元数的相乘是否可以表示3D上的旋转呢?
就如同三维上的点(x, y, z) 当z = 0时可以表示为二维上的点
同理将四维上的点[w, v] 当w = 0时可以表示三维上的点
设 p = [0, (ai, bj, ck)]
q = [w1, (x1i, y1j, z1k)] (表示旋转轴)
q^-1 = [w1, -(x1, y1, z1)]
qp = [-(ax1 + by1 + cz1), (aw1 + cy1 - bz1)i,
(bw1 + az1 - cx1)j, (cw1 + ay1 - bx1)k]
pq^-1 = [(ax1 + bx1 + cz1), (aw1 - bz1 + cy1)i,
(bw1 - cx1 + az1)j, (cw1 - bx1 + ay1)k]
观察可得qp 与 pq^-1的第四维互为相反数，而在三维坐标上的点相同
也就是说都是沿相同的方向转过了相同的角度。又因为他们的模相同
则qp 与 pq^-1的几何意义是两个相同的旋转
而qp 可以通过复数q与复数p相乘得到
pq^-1可以通过复数q^-1与复数p相乘得到
将向量q与q^-1平移到圆点，如图(2-4)所示
图 2 - 4
第一次旋转为qp
第二次旋转为(qp)q^-1
设旋转的结果后为p’ 则p’ = qpq^-1 ⑫
因为是旋转了两次，因此需要用四元数计算旋转的时候，角度是 (2 * #) / 2 = 2
即按照目标角度的一半来计算 (2 * #)的几何意义为目标角度
3、 四元数的插值
3.1 普通线性插值
图 3 - 1
如图(3-1）,在一条直线AB上插入任意一个值，我们需要的是点D的坐标。如图所示过A、B点分别做x轴的垂线。分别交予x轴与点E、F。过A点做与BF的垂线，交于点C，连接AC。
在AB上任意取一点D，过D点做与AC的垂线，交于点M。
设D（x0, y0)
则x0 - x1 = AM
显然∠BAC = ∠DAM
tan∠BAC = BC / AC
tan∠DAM = DM / AM
则 BC / AC = DM / AM
AC = x2 - x1, BC = y2 - y1
DM = (y2 - y1 / x2 - x1 )(x0 - x1)
y0 = AE + DM = y1 + (y2 - y1 / x2 - x1 )(x0 - x1)
即 y0 = y1 + (y2 - y1 / x2 - x1 )(x0 - x1)
图 3 - 2
在平面上任意取A点与B点，做向量_OA与向量_OB。连接AB，做向量_AB。在AB上任意取一点C，做向量_OC。
则1. _OA + _AB = _OB, _OA + _AC = _OC
因为点C在直线AB上，则_AC 与 _AB共线， 设_AC = t _AB
则2. _OC = _OA + t_AB
标准线性插值公式：lerp(a0, a1, t) = a0 + t△a △a = a1 - a0 ⑬
设a0 = _OA, a1 = _OB 根据1与2可得
_OC = a0 + t△a △a = a1 - a0
3.2 四元数插值——slerp
图 3 - 3
在球形体中插值，显然轨迹是弧形的，如图(3-3)所示。
显然点C在弧AB的运动过程中，线段OC的长度的不变的
而普通的线性插值_OC的长度是会改变的， 如图(3-2)
图 3 - 4
sleap的基本思想是 沿4D球面上连接的两个四元数的弧插值(球面插值)
把这种思想表现在平面上
如图(3-4)，设两个2D向量_OA与_OB，我们需要计算_OC，设w是_OA到_OB弧所截的角
为了方便计算 设v0 = _OA, v1 = _OB, vt = _OC
将vt表示成v0与v1的线性组合： vt = kovo + k1v1
图 3 - 5
过C点做OB的平行线，交OA与点M。分别过点B与点C做于OA的垂线，分别交线段OA于点E、M。
易得△BOE与△CMF是相似三角形
则 OB / BE = CM / CF
OB = |v1|, BE = OB * sinw = |v1|sinw
CM = k1|v1|, CF = OC*sintw = |vt|sintw = |v1|sintw (线段OC与OB长度相同，则|vt| = |v1|)
代入可得: k1 = sintw / sinw ⒂
图 3 - 6
过C点做于OA的平行线，交OB于点E。过点E做OC的垂线，交OC于点F。
易得_OE = _MC = k1v1, _EC = _OM = k0v0
∠EOC = (1-t)w, ∠ECO = W
线段EF = OE sin∠EOC = EC sin∠ECO
则 k1|v1| sin((1-t)w) = k0|v0| sinw = k0|v1|sinw
根据⒂可得: k0 = sin(1 - t)w / sinw ⒃
将⒂⒃代入到 vt = kovo + k1v1
可得vt = (sin(1 - t)w / sinw )vo + ( sintw / sinw)v1
将同样的思想扩展到四元数，重写slerp可得：
slerp(q0, q1, t) = (sin(1 - t)w / sinw )q0 + ( sintw / sinw)q1
而w， 可以计算q1和q2的点积从而得出角度w：
cosw = q1▪q2 / |q1||q2|
这样的作法会产生两个问题：
图 3 - 7
1. 可能会绕远路，将点A旋转到OB旋转轴，可以顺时针旋转也可以逆时针旋转。
设∠BOA = w， 显然当w小于90度的时候，顺时针旋转所需要的路径较短，而当w大于90度的时候，逆时针旋转所需要的路径较短。
首先我们需要确定w是否大于90度，可以使用：
cosw = q1▪q2 / |q1||q2| 0 < w < 180
因为 |q1||q2| > 0恒成立
所以实际上需要计算的是q1▪q2
当q1▪q2 > 0的时候, cosw > 0 w < 90
当q1▪q2 < 0的时候, cosw < 0 w > 90
确定了角度之后，我们需要的是按顺时针还是逆时针旋转
而四元数代表旋转轴的时候q = -q
我们可以将其中一个四元数取反，总结：
q1▪q2 > 0时， 旋转为q1q2
q1▪q2 <= 0时, 旋转为(-q1)q2或(-q2)
2. 当w较小的时候，sinw ——> 0，sin(1 - t)w ——> 1
则(sin(1 - t)w / sinw )q0 ——> ∞
计算机没有真正的∞，所以我们需要确定一个sinw的范围，如当sinw < 0.0001的时候
sinw = 0.0001。
4、 个人说明
本文参考于《3D数学基础：图形与游戏开发》，文中内容属于个人(萌新)理解，可能会出现一些错误，欢迎大佬指正，本文仅供参考。