POJ 1637（最大流）混合欧拉回路

1 定义

欧拉通路 (Euler tour)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的通路。
欧拉回路 (Euler circuit)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的回路。
欧拉图——存在欧拉回路的图。

2 无向图是否具有欧拉通路或回路的判定

G有欧拉通路的充分必要条件为：G 连通，G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。
G有欧拉回路(G为欧拉图)：G连通，G中均为偶度顶点。

3 有向图是否具有欧拉通路或回路的判定

D有欧拉通路：D连通，除两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度，这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的入度比出度小1。
D有欧拉回路(D为欧拉图)：D连通，D中所有顶点的入度等于出度。

4 混合图。混合图也就是无向图与有向图的混合，即图中的边既有有向边也有无向边。

5 混合图欧拉回路

混合图欧拉回路用的是网络流。
把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。
现在每个点入度和出度之差均为偶数。将这个偶数除以2，得x。即是说，对于每一个点，只要将x条边反向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。

现在的问题就变成了：该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。有向边不能改变方向，直接删掉。开始已定向的无向边，定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u，连接边(u, t)、容量为x，对于出 > 入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x不同。当初由于不小心，在这里错了好几次）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。查看流值分配，将所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有x条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和s、t连接的点怎么办？和s连接的条件是出 > 入，和t连接的条件是入 > 出，那么这个既没和s也没和t连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。

以上内容转自：http://www.cnblogs.com/destinydesigner/archive/2009/09/28/1575674.html

其实还可以再深入一步：求出欧拉回路的路径

只要将残余网络中的满流边（不包括以S，T为端点的边）与一开始设定的方向反向即可，最后求一遍有向图的欧拉回路（dfs）即可~

ps：求混合图的欧拉路径也应该可以用网络流做吧。。按照定义做应该是可以的~不过好像没有这个题，我是没找到~

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>

#define N 500
#define M 20000
#define INF 1e9

using namespace std;

int head[N],to[M],next[M],len[M];
int q[M*10],layer[N];
int pin[N],pout[N];
int n,m,S,T,cas,cnt,sum;

inline void add(int u,int v,int w)
{
    to[cnt]=v; len[cnt]=w; next[cnt]=head[u]; head[u]=cnt++;
    to[cnt]=u; len[cnt]=0; next[cnt]=head[v]; head[v]=cnt++;
}

inline bool read()
{
    memset(head,-1,sizeof head); cnt=0;
    memset(pin,0,sizeof pin);
    memset(pout,0,sizeof pout);
    sum=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    S=0; T=n+1;
    for(int i=1,a,b,c;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        pin[b]++; pout[a]++;
        //if(!c&&a!=c) add(a,b,1);
        if(!c) add(a,b,1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(abs(pin[i]-pout[i])&1) return false;
        if(pin[i]<pout[i]) add(S,i,(pout[i]-pin[i])>>1),sum+=(pout[i]-pin[i])>>1;
        else add(i,T,(pin[i]-pout[i])>>1);
    }
    return true;
}

inline bool bfs()
{
    memset(layer,-1,sizeof layer);
    int h=1,t=2,sta;
    q[1]=S; layer[S]=0;
    while(h<t)
    {
        sta=q[h++];
        for(int i=head[sta];~i;i=next[i])
            if(len[i]&&layer[to[i]]<0)
            {
                layer[to[i]]=layer[sta]+1;
                q[t++]=to[i];
            }
    }
    return layer[T]!=-1;
}

inline int find(int u,int cur_flow)
{
    if(u==T) return cur_flow;
    int res=0,tmp;
    for(int i=head[u];~i&&res<cur_flow;i=next[i])
        if(len[i]&&layer[to[i]]==layer[u]+1)
        {
            tmp=find(to[i],min(cur_flow-res,len[i]));
            len[i]-=tmp; len[i^1]+=tmp; res+=tmp;
        }
    if(!res) layer[u]=-1;
    return res;
}

inline void go()
{
    int ans=0;
    while(bfs()) ans+=find(S,INF);
    if(ans==sum) puts("possible");
    else puts("impossible");
}

int main()
{
    scanf("%d",&cas);
    while(cas--)
    {
        if(!read()) puts("impossible");
        else go();
    }
    return 0;
}