双调欧几里得旅行商问题

CLRS 15-1 双调欧几里得旅行商问题

欧几里得旅行商问题是对平面上给定的n个点确定一条连接各点的最短闭合旅程的问题。如图(a)给出了一个7个点问题的解。这个问题的一般形式是NP完全的，故其解需要多于多项式的时间。
J. L. Bentley建议通过只考虑双调旅程来简化问题，这种旅程即为从最左点开始，严格地从左到右直至最右点，然后严格地从右到左直至出发点。下图(b)显示了同样的7个点的最短双调路线。在这种情况下，多项式的算法是可能的。事实上，存在确定的最优双调路线的O(n²)时间的算法。
描述一个确定最优双调路线的O(n²)时间的算法。可以假设任何两点的x坐标都不相同。（提示：从左到右扫描，保持路线两部分的最优概率）。

       a)最短闭合路线,长度大约是24.89。这个路线不是双调的。                                  b)相同点的集合上的最短双调闭合路线。长度大约是25.58

解题思路：

1.题目所求的结果就是最左端点到最右端点的两条线路，对于这两条线路，线路上的点的x坐标是递增的(第i个点一定比i-1个点的x坐标大)

2.从左端点开始，有两条线路出发，用d(i, k)表示两条线路分别到达i点和k点的距离之后，这里指的是最短距离之和，两条线路无相同点(除去起点和终点)。在这里，由于两条线在意义上是等价的，因而我们规定i<=k，即一条线路总是领先着。

3.从2可以看出，d(n, n)即为所求。

对于d(i, k)，我们可以如下分析：

1)当k < i-1时，有

    d(i, k) = d(i-1, k) + |P_i-1P_i|，这里表示d(i, k)必然包含线段|P_i-1P_i| (点P_i-1和点P_i之间的距离)

2)当k = i-1时，有

    d(i, k) = d(i-1, u) + |P_uP_i|，其中1 <= u < i-1，这里遍历u的值，寻找最短距离

3)当k = i时，有

    d(i, k) = d(i-1, u) + |P_i-1P_i| + |P_uP_i|，其中1 <= u < i-1

转自 http://www.cnblogs.com/shuaiwhu/archive/2012/05/13/2497355.html