[ural 2120]. Tree Average Weight

题意

给出一个长度为(n)的序列({a_i})，定义一棵(n)个点的树为好树当且仅当对于每个节点有：

1. 若(a_i = -1)，(i)号节点度数随意；
2. 若(a_i eq -1)，(i)号节点度数为(a_i)；

定义一棵树的权值为(sum_{(u, v) in E} u * {sz}_{uv}(u) + v * {sz}_{vu}(v))。
其中({sz}_{uv}(u))表示删去边((u, v))后，(u)所在的连通块的大小。
求所有好树的平均值的整数部分。
保证至少存在一棵好树。
(n leq 1e6)。

题解

考虑一棵好树的权值为

[egin{aligned} & sum_{x} sum_{y} [x, y is adjacent] x * (n - {sz}_y) \ = & sum_{x} sum_{y} [x, y is adjacent] x * (n - {sz}_y) \ = & sum_{x} x * (n * deg(x) - (n - 1)) \ = & sum_{a_x > 0} x * (n * a_x - (n - 1)) + sum_{a_x = -1} x * (n * deg(x) - (n - 1)) \ end{aligned} ]

我们对于所有好树一起算权值。
前一部分显然可以直接计算，我们设为(former)；考虑后一部分，枚举度数进行计算。
设(s = sum_{a_x > 0} a_x)，(t = sum_{a_x = -1} x)，则后一部分为

[sum_{i = 1} ^ {n - s - 1} n * t * i * ways(i) ]

(ways(i))即为钦定某一个(a_x = -1)的点度数为(i)，能形成的不同的好树数。
根据prufer序列，有

[ways(i) = frac{(n - 2)!}{D (n - 1 - s - i)!} * {(c - 1)} ^ {n - 1 - s - i} ]

其中(c = sum_{a_x = -1} 1)，(D = prod_{a_x > 0} (a_x - 1)!)。
看上去权值和部分已经计算好了，不妨来计算总的好树个数。
同样也是用prufer序列，有

[#goodtree = frac{(n - 2)!}{D(n - 2 - s)!} * c ^ {n - 2 - s} ]

根据问题的输出格式，又没有取模，肯定要化简以后才能算。
答案为

[former + n * t * frac{sum_{i = 1} ^ {n - s - 1} frac{(n - 2)!}{D (n - 1 - s - i)!} * {(c - 1)} ^ {n - 1 - s - i}}{frac{(n - 2)!}{D(n - 2 - s)!} * c ^ {n - 2 - s}} ]

令(r = n - s - 1)，则（经过一波化简得到）答案为

[egin{aligned} & former + n * t * frac{1}{c ^ {r - 1}} sum_{i = 1} ^ r frac{i (r - 1)! {(c - 1)} ^ {r - i}}{(i - 1)! (r - i)!} \ = & former + n * t * frac{1}{c ^ {r - 1}} sum_{i = 1} ^ r frac{(i - 1 + 1) (r - 1)! {(c - 1)} ^ {r - i}}{(i - 1)! (r - i)!} \ = & former + n * t * frac{1}{c ^ {r - 1}} left[sum_{i = 1} ^ {r - 1} inom{r - 1}{i - 1} {(c - 1)} ^ {r - 1 - i} + (r - 1) sum_{i = 2} ^ {r - 2} inom{r - 2}{i - 2} {(c - 1)} ^ {r - 2 - i} ight] \ = & former + n * t * frac{1}{c ^ {r - 1}} left( (1 + c - 1) ^ {r - 1} + (r - 1) (1 + c - 1) ^ {r - 2} ight) \ = & former + n * t * (1 + frac{r - 1}{c}) end{aligned} ]

现在问题就是求(former + n * t * (1 + frac{r - 1}{c}))的整数部分。
也就是处理(lfloor frac{a * b}{c} floor)的问题，其中(a * b)会爆long long，但(c)比较小，是(1e6)级别。
暴力拆成(frac{(Ac + x)(Bc + y)}{c})计算即可。
复杂度(mathcal O(n))。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6 + 5;
ll n, x, sum, cnt, tmp, ans1, ans2;
ll calc (ll x, ll y, ll z) {
	ll a = x / z, b = y / z;
	x %= z, y %= z;
	return a * b * z + a * y + b * x + x * y / z;
}
int main () {
	cin.tie(0), ios :: sync_with_stdio(0);
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		cin >> x;
		if (x > 0) {
			sum += x - 1;
			ans1 += x * n * i;
		} else {
			++cnt;
			tmp += i;
		}
		ans1 -= (n - 1) * i;
	}
	sum = n - sum - 1;
	ans2 = cnt ? calc(tmp * n, sum + cnt - 1, cnt) : 0;
	cout << ans1 + ans2 << endl;
	return 0;
}