FFT简明指南

简介

FFT是用来计算多项式卷积的东西。

多项式卷积： (C=Aast B) ，即 (c_k=sum_{i+j=k} a_i imes b_j) 。（假设下标范围 (0-n) ）

直接按照定义做是 (O(n^2)) 的，但是FFT可以做到 (nlog(n)) 。

一些奇奇怪怪的东西（定义）

考虑一个 (n) 次多项式，取 (n) 个不同的 (x) 代入会得到 (n) 个 (y) ，然后发现由于我们可以解方程，因此只要不是无解、多解，我们可以说，一个 (n) 次多项式和一个（有 (n) 个点的集合一一对应）。

对于多项式 (A=sum_{i=0}^{n-1}a_i imes x^i) ，定义其在 (x=x_0) 处的点值为 (A(x_0)=sum_{i=0}^{n-1}a_i imes x_0^i) 。

多项式系数表示：对于 (A=sum_{i=0}^{n-1} a_i imes x^i) ，系数表示为 (A={a_0,a_1,...,a_{n-1}}) 。

多项式点值表示： (A={(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_{n-1},y_{n-1})}) 。如果 (x) 的取值确定的情况下，显然也可以写成 (A={y_0,y_1,...,y_{n-1}}) 。这样的话，多项式的系数、点值表示都可以写成一个向量vector的形式了。

点值表示中，若A与B (x) 的取值相同，它们相乘只需要把 (x) 对应的 (y) 分别相乘即可。

n次单位根（其实n次单位根只应该有1个，但是为了方便这里就当作有n个）：方程 (x^n=1) 的n个复数根，分别称为 (w_n^0,w_n^1,w_n^2,...,w_n^{n-1}) ，其中 (w_n^0=1) 。简记为 (w_{n,0}) 。不引起歧义的情况下，我会写成 (w_0) 。同时，在这里，n应该是2的幂次（原因后文会讲）。

主要用到的n次单位根的性质： (w_{n,1}^k=w_{n,k},w_{n,k}=w_{2 imes n,2 imes k},w_{n,k+frac{n}{2}}=-w_{n,k}) 。

DFT，就是把一个长度为 (n) 次的向量（多项式系数表示）代入 (n) 次单位根，从而转换为另一个向量（多项式点值表示）。而IDFT，是把以上点值表示转换为系数表示。它们的复杂度都是 (O(nlog n)) 。

做法

数学

好，假设我们现在需要把一个长为 (2^{len}=n) 的多项式 (A=sum_{i=0}^{n-1}a_i imes x^i) 转换为点值表示（系数表示和系数表示向量被认为是相同的）。

我们先把它分成两部分：

[A=sum_{i=0}^{frac{n}{2}-1}a_{2 imes i} imes x^{2 imes i}+sum_{i=0}^{frac{n}{2}-1}a_{2 imes i+1} imes x^{2 imes x+1}。 ]

构造两个新的多项式，其系数表示的向量分别为：

[A_1={a_0,a_2,...,a_{n-2}}\ A_2={a_1,a_3,...,a_{n-1}} ]

把这两个多项式分别变成点值表示（相当于递归向下做）：

[A_1={(w_{frac{n}{2},0},a_0),(w_{frac{n}{2},1},a_2),...,(w_{frac{n}{2},frac{n}{2}-1},a_{n-2})}\ A_2={(w_{frac{n}{2},0},a_1),(w_{frac{n}{2},1},a_2),...,(w_{frac{n}{2},frac{n}{2}-1},a_{n-2})} ]

然后考虑我们需要的是A的点值表示。枚举每一个 (n) 阶单位根，我们需要知道A代入 (w_n^i) 的值。然后再看一下第一个公式

[A=sum_{i=0}^{frac{n}{2}-1}a_{2 imes i} imes x^{2 imes i}+sum_{i=0}^{frac{n}{2}-1}a_{2 imes i+1} imes x^{2 imes x+1}。 ]

又因为有 ((w_n^1)^2=w_n^2=w_{frac{n}{2}}^1) ，所以代入 (w_n^i) 后，点值就是A1在 (w_{frac{n}{2}}^i) 处的点值加上 (w_n^i imes A_2[w_{frac{n}{2}}^i]) 。

然后是IDFT。有一个结论，是说只要把以上的 (n) 次单位根全都变成相反数就行。证明自行百度。

代码

inline void FFT(Complex *A,int len,int fl);

DFT中，A开始存系数，后来存(A[w_i])。

基本代码：

inline void FFT(Complex *A,int len,int fl){
    if (len == 1) return;
    Complex *A1, *A2;
    A1 = new Complex[len / 2], A2 = new Complex[len / 2];
    rep(i, 0, len / 2){
        A1[i] = A[i * 2];
        A2[i] = A[i * 2 + 1];
    }
    FFT(A1, len / 2, fl);
    FFT(A2, len / 2, fl);
    Complex w = init(len, fl), cur = (Complex)1;
    rep(i, 0, len){
        A[i] = A1[i % (len / 2)] + cur * A2[i % (len / 2)];
        cur = cur * w;
    }
}

如果把最终的数字转换的结果放出来，就是这样的：

int tmp;
inline void FFT(Complex *A,int len,int fl){
    // reverse
    int j = 0;
    rep(i, 0, len){
        if (j > i) Swap(A[i], A[j]);
        // reverse add j
    }
    // reverse
    Complex w, step, tmp;
    for (i = 1; i < len; i <<= 1){
        w = ...;
        for (int j = 0; j < len; j += i * 2){
            step = (Complex)1;
            for (k = j; k < j + i; ++k){
                tmp = step * A[j + i + k];
                A[j + i + k] = A[j + k] - tmp;
                A[j + k] += tmp;
                step *= w;
            }
        }
    }
}

（上面的加减可能需要理解）

NTT

如上，但是把所有的 (n) 次单位复根换成 (pm 3^{998244352/n}mod{998244353}) 。