微分：
图像一：f是里程，t是时间，如果v是一定时，那么不难理解，f的图像是一条固定斜率的直线；
图像二：基于图一，v和t的图像，是一条平行于t轴的直线；并且，在t1处，f = v * t1；
图像三：如果v是随t的变化而变化，那么如果有v = c t；那么，在t1处，有 f = 1 / 2 * c * t1 * t1；
图像四：基于图三，f是一条凹抛物线；
问题一：如何知道，在任意的t1处，根据f的图像，求得v的值。也就是根据f的表达式，求得任意时刻的v？
假设，在t1处，有f(t1)；在t1 + △t处，有f(t1 + △t)，那么， t1 ~ t1+△t的平均速度 = [f(t1 + △t) - f(t1)] / △t = 1 / 2 * c * ( 2*t1 + △t )
那么，当△t 无限接近0的时候，得到的就是t1的速度，v(t1) = c *t1；如果△t 不是接近0，得到的就是平均速度。
所以，要学习微分，先学习求极限；对所有的导数推导，如sinx，e^x的推导，也可以这样推；
思考：matlab求某个x处的导数（斜率），是不是也是用极小的△x来代入[f(x+△x) - f(x)] / △x的呢？
利用导数，可以找出函数的特殊点：
1. 当二阶导数为0时，x1 = x3 = 0，那么原函数处于凸顶或者凹底；
2. 当三阶导数，在x1< 0时，原函数处于凸顶（二阶函数的变化速度为负，原函数往负方向拐）；
3. 当三阶导数，在x2 = 0时，证明二阶导数在x2处，速度绝对值已经最大（接下来就下降）；那么，证明原函数，其上升或下降的速度已经减缓，在不久就触底了。
有关指数函数 :
y = ex；
y' = ex;
如果有一函数：y = y'
y = 1，y' = 1
有矛盾，y = 1 + x 时，才有 y' = 1；
有矛盾，y' = 1 + x 为必须符合条件；
有矛盾，y = 1+ x + 1/2 * x2 上面才成立；
有矛盾，y' =1+ x + 1/2 * x2 为必须符合的条件；
有矛盾，y = 1 + x + 1/2 * x2 + 1 / (2*3) *x3上面才成立
。。。
直到 y = e^x 的无穷泰勒级数展开才行。
e到底有何特别呢？
假如银行存一年，给100%利息，1~n年后，利叠利1,2,4,8...
如果利息按月计算，那么每月利息是本金的1/12，1~12月的本金+利息为：
（1+1/12），（1+1/12)^2……（1+1/12)^12 > 2
那如果利息按天计算，1~365天，本金+利息为：
（1+1/365)^365>（1+1/12)^12 > 2
但是：
（1+1/n）^n <= e
积分
假设每一个步长记录一次y的值，假设步长△x =1，那么：
y = 0，1，4，9，16……
斜率：
s = (1-0)/△x ，(4-1)/△x ，(9-4)/△x……
即：
s = 1，3，5，7……
那么，由s求回y，就是对s的值进行累加。
进入代数：
y：y0，y1……yn;
△y：y1-y0，y2-y1，y3-y2……y(n)-y(n-1)
Σ△y = y(n)-y(0)
那么，有：
Σ [（△y / △x）* △x ] =（ y(n) - y(0) ）
如果让△y和△x足够小，趋近于0的称为dy，dx，而且Σ也不太合适，所以写成：
∫(dy/dx)dx = （ y(n) - y(0) ）
(*始终记住一点，∫代表连加，积分就是，微小量乘以斜率，然后连加)
用求极限的方式：
已知y'(x)，在区间(x1,x2)中，△x = (x1-x2 )/ n
当n足够大，又有y'(x1)，y'(x1+△x)，y'(x1+2△x)……y'(x2)就可以近似计算数值y(x2)-y(x1)
求导法则：
1. 函数相乘 p(x)=f(x)g(x) dp/dx = f(x) * dg / dx + g(x) * df / dx;
例子：p(x) = x2 * x dp/dx = x2 * 1 + x * 2x = 3x2
来由：
想象一下，f(x)和g(x)分别是长方形的长和宽，x0处，有p(x0)这个面积。
那么，移动一点点，△x，那么对于f(x)，有△f，对于g(x)，有△g;
那么，面积△p = f(x0) * △g + g(x0) * △f + △g * △f
从而 △p / △x = f(x0) * △g / △x + g(x0) * △f / △x + △g * △f / △x
那么，当△x无限小，△g * △f / △x 变为0 ，△x无限小用dx表示，△p、 △g、△f用dp、dg、df表示。
2. 函数嵌套p(x) = f(g(x)) dp/dx = df/dg * dg/dx
例子：p(x) = f(x)n dp/dx = n *f(x)(n-1) * df/dx
例子：p(x) = sin(3x) dp/dx = 3 * cos(3x) ，周期缩短了3陪，但是最大值一样，那斜率自然增大3倍。
洛必达法则：
当x趋近于0时，f(x)、g(x)也趋近于0
f(x)/g(x) = (△f /△x ) / (△g /△x )
反函数：
y = f(x) 和 x = f -1(y)；
指数函数的逆函数：
f(x) = ex x = loge f(x) = ln(f(x))
f(x) = cx x = logc(f(x))
yY = exeX=ex+X
ln(yY) = ln(ex+X) = x + X = lny + lnY
ln(y2) = x + x =2x = 2lny ln(yn)=n * lny
反函数求导
例子：
y = ax + b = f(x)
x = f -1(x) = (y - b) / a (逆过程就是乘法变除法，加法变减法，且顺序相反)
y = ex lny = x 求导：x' = d(lny) / dy * dy / dx = 1 已知 dy / dx =ex 那么d (lny) / dy = 1 / ex
所以 (lny)' = 1 / y
y = sin(x) x = sin-1(y) = arcsin(y)
y = sin (sin-1(y))
两边对y求导：
1 = cos(sin-1(y)) * dsin-1(y) / dy = cosθ * dsin-1(y) / dy
cosθ = Sqrt(1 - y 2)
所以：
dsin-1(y) / dy = 1 / Sqrt(1 - y 2)
已知 f'(a) 的值，也已知x的值，求f(x)
当x接近a的时候，有： df / dx = f '(a) ≈ [ f(x) - f(a) ] / ( x - a )
f(x) ≈ f(a) + ( x - a ) * f ' (a) （1）
已知 F(x) = 0，求 x： x - a ≈ - F(a) / F ' (a) （2）
例子：
求Sqrt(9.06)的值。f(x) = x1/2 f ' = 1 / 2 * x-1/2
那么，可以选择 a = 9 f(a) = 3 f '( a) = 1 / 6
由（1）式得：
f(9.06) = 3 + 0.06 * 1 / 6 = 3.01
图像：
还可以：
F(x) = x2 - 9.06 = 0 求x的解
令 a = 3
F(a) = 9 - 9.06 = -0.06
F'(a) = 2a = 6
根据（2）式子
x - 3 = - 0.06 / 6 = 0.01 x = 3.01
所以，可以继续使得
a = 3.01 F(a) = 0.0001 F'(a) = 2a = 6.02 x = ???
直到 x - a 的值接近0；
这就是牛顿法了
f(x) = f(x0 + △x)
f(x0 + △x) = f(x0) + ∫ f '(x) dx 积分区间（x0，x0 + △x）
*还记得速度的积分（从0~t1），就是t1处的里程吗？（三角形面积值，是f(t1)值）
*再解析浅一点，从0~t1积分，就是f(t1)；从0~t2积分，就是f(t2)；从t1~t2，就是△f = f(t2) - f(t1)；（梯形面积，也就是两f(t1)、f(t2)值相减）
*从x0 ~ x0 + △x，就是△f = f(x0 + △x) - f(x0 )；
所以：f(x0 + △x) = f(x0) + ∫ f '(x) dx 积分区间（x0，x0 + △x）
而 f '(x) = ∫ f ''(x) dx + f '(x0)
代入得：f(x0 + △x) = ∫ (∫ f ''(x) dx + f '(x0)) dx + f(x0)
其中
∫ (∫ f ''(x) dx + f '(x0)) dx = ∫ （∫ f ''(x) dx）dx + ∫ f '(x0) dx
其中
∫ f '(x0) dx = f '(x0) * △x = f '(x0) (x - x0) 对一个常数 f '(x0)进行积分，就是求矩形面积
其中
∫ （∫ f ''(x) dx）dx , f ''(x) = ∫ f '''(x) dx + f ''(x0)，代入∫ （∫ （∫ f '''(x) dx + f ''(x0)） dx）dx
其中 ∫ (∫ f ''(x0) dx）dx ，将f ''(x0) 视为常数， ∫ f ''(x0) dx = f ''(x0) (x - x0)
代入得 ∫ f ''(x0) (x - x0) dx = (x - x0) 2/ 2 * f ''(x0)
至此，f(x) = f(x0 + △x) = f(x0) + f '(x0) (x - x0) + (x - x0) 2/ 2 * f ''(x0) + ∫ ∫ ∫ f '''(x) dx dxdx
对∫ ∫ ∫ f '''(x) dxdxdx 再次分解
∫ ∫ ∫ [ f '''(x0) + ∫ f ''''(x)dx ]dxdxdx = ∫ ∫ ∫ f '''(x0)dxdxdx + ∫ ∫ ∫ ∫ f ''''(x)dxdxdxdx
∫ ∫ ∫ f '''(x0)dxdxdx = f '''(x0) * ∫ ∫ ( x - x0)dxdx = f '''(x0) * ∫ ( x - x0)2 / 2 dx = f '''(x0) * ( x - x0)3 / ( 3 * 2)
至此，f(x) = f(x0 + △x) = f(x0) + f '(x0) (x - x0) + (x - x0) 2/ 2 * f ''(x0) + f '''(x0) * ( x - x0)3 / ( 3 * 2) + ∫ ∫ ∫ ∫ f ''''(x)dxdxdxdx
也可以从另一个思想推导泰勒公式：
比如有一个函数，f(x) ，我们要仿造一个函数 g(x) ，在X0附近， 要无限接近f(x)。那我们就可以，预测X0附近的 f(x) 的值了，非常好！
那么，假设f(x)能求n阶导数，n可以是任意的，其最终大小视f(x)而定，需要有：
f(X0) = g(X0)
f '(X0) = g '(X0)
f ''(X0) = g ''(X0)
……
f n(X0) = g n(X0)
那么，可以猜想，g(x)又可以求高阶层导数，会不会是：
g(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +a4x4 + ……anxn
例子：
拿cosX，在X = 0处的近似：
求一阶：
原曲线： f(x) = cosx
仿曲线：f(x) ≈ g(x) = a0 + a1x
满足：
f(0) = g(0)
f '(0) = g '(0)
解得 g(x) = 1
仅仅是一条直线，在x = 0附近，一点都不像，g(x)只有在X=0处能近似f(x)。
继续，求二阶：
仿曲线：f(x) ≈ g(x) = a0 + a1x + a2x2
满足：
f(0) = g(0)
f '(0) = g '(0)
f ''(0) = g ''(0)
解得：g(x) = 1 - 1 / 2 x2
很好，在x = 0附近已经可以近似用 g(x)代替了。只要x离开x = 0不远，可以用g(x)代替。并且可以看出，对于其他的x = Xn，只要解出属于Xn的各个a0 , a1 , a2 就可以模拟Xn附近的函数值了。
这是一个非常重要的信息，只要离x = Xn足够近，只要解出属于Xn的各个a0 , a1 , a2，甚至不需要求很高阶，亦可以满足要求g(x) 无限接近 f(x)。
如果我们继续，求三阶：
仿曲线：f(x) ≈ g(x) = a0 + a1x + a2x2+ a3x3
满足：
f(0) = g(0)
f '(0) = g '(0)
f ''(0) = g ''(0)
f '''(0) = g '''(0)
解得：g(x) = 1 - 1 / 2 x2 + 1 / 2 x4
至此，我们有理由相信，只要仿曲线g(x)的阶数够高，无论x离 x = 0多远都好，也就是任意的x = Xn，都能满足g(x)无限接近f(x)。
.
..
...
那猜想一下，泰勒公式的通式：
f(x) ≈ g(x) = f(0) + f1(0) / 1! *x + f2(0) / 2! *x2 + ……+ fn(0) / n! xn
因为
g(0) = f(0) ,
gn(0) = fn(0) , 这里比较考究，因为求导第n阶导数的时候，前面的各项已经被消为0了。而对xn 的各阶求导，剩下n! 这个乘数，最终要留下fn(0)，那么an只能等于fn(0) / n! 。
.
..
...
前面提及，如果我不想在x = 0处研究泰勒公式，要想在x = X0 处研究，那么，自然各个fn(0)得替换为fn(X0)。这样的好处，上面提及了，可以不用展开那么多项；
其次，原公式中，各个x项，是相对于x = 0的，也就是x = x - 0，那现在替换为 x = x - X0
那么，在x = X0 附近的泰勒展开式：f(x) ≈ g(x) = f(X0) + f1(X0) / 1! *(x - X0) + f2(X0) / 2! *(x - X0)2 + ……+ fn(X0) / n! *(x - X0)n
.
..
...
泰勒公式，还可以用来线性化函数
例如:
f(x,y) = a x2y
想要在(X0,Y0)附近，求近似g(x, y)
一阶：
f(x,y) ≈ g(x, y) = f(X0,Y0) + df '(X0,Y0) / dx * (x - X0) + df '(X0,Y0) / dy * (y - y0)
二阶：
f(x,y) ≈ g(x, y) = 一阶 + df ''(X0,Y0) / dxdx / 2! * (x - X0)2 + df ''(X0,Y0) / dydy / 2! * (y - Y0)2 + df ''(X0,Y0) / dxdy / 2! * (x - X0) (y - Y0) + df ''(X0,Y0) / dydx / 2! * (x - X0) (y - Y0)
*df '(X0,Y0) / dx 的意思是，f(x,y)对x求偏导，然后，代入(X0,Y0)
当 x0 = 0 , △x = X 时
对于
sin(x) = x - x3 / 3!+ x5 / 5!+……
cos(x) = 1 - 1/2! * x2 + 1/ 4! * x3 +……
对于泰勒公式用于指数函数，得出欧拉公式：
eix = 1 + ix + 1/2! (ix)2 + 1/3! (ix)3+……
= （1 - 1/2! * x2 + 1/ 4! * x3 +……）+ i *(x - x3 / 3!+ x5 / 5!+……)
= cosx + i sinx
图像：
*欧拉公式是傅里叶变换的基础
此式子能解析所有的振动：m * d2y / dt2 + 2 * r * dy / dt + k * y = 0 或 my'' + 2ry' + ky = 0
对于这个方程，要使得其成立的条件，有如下两种情况：
情况一： d2y / dt2 =0
那么可以有 y = c + dt
情况二：m = 0， dy / dt = ay， a = - k / 2r
dy / dt = ay 可以有 y = eat
情况三：r = 0，w2 = k/m ， d2y / dt2 = - w2y
d2y / dt2 = - w2y 可以有 y = cos(wt) 或 y = sin(wt) 或 y = c* cos(wt) + d*sint(wt)(通解)
例子一：
物体的重力为m，弹簧的弹力系数是k（每拉长一段距离，就产生多少力）
以向下的距离为正，距离为y（即弹簧自然状态时，y为0）
那么：加速度就是 y''(t) = d2y / dt2
从而， 有 - k y = m * d2y / dt2 (质量成加速度就是力，由于弹力总是和物体的力方向相反，所以左边加上负号)
*r代表空气阻力系数
例子二：
y = eλt
代入公式：
mλ2eλt + 2 r λ eλt + k eλt = 0 化简后得：mλ2+2 r λ + k = 0
r = ± Sqrt(r2 - km) / m
使 m =1 , r = 3 , k = 8 ,解得 λ = -2 , -4， 那么通解 y(t) = Ce-2t + De-4t
例子三：
当m = 1, r = 3, k = 10时，解得 λ = -3 ± i ，是虚数y(t) =Ce(-3+i)t + De(-3-i)t
如果使用欧拉公式，那么：
eit = cos(t) + i * sin(t)
e-it = cos(t) - i * sin(t)
y(t) = A*e-3tcos(t) + B *e-3t *sin(t)
用人话来说，就是y随着时间的改变，其振动的幅度逐渐降低，直到y回到正常的范围值
例子四：
当m = 1, r = 3, k = 10时，解得 λ1 = λ2 = -3
y = y(t) =Ce-3t + De-3t
OK，结论就是：形如 my'' + 2ry' + ky = 0 的线性常系数微分方程，可以通过引入y = eλt 来解决，通过求取λ，符合以上三种情况
式子一： dy/dt = cy y(0) = ... y(t) = y(0) * ect
式子二： dy / dt = cy + s
这个模型可以表示银行存款，c表示利率，s可以表示每次持续存入的额外数额
dy / dt = c ( y + s / c )
d( y + s / c ) / dt = c ( y + s / c)
因为 dy / dt = cy + s
d( y + s / c ) / dt = d( y + s / c ) / dy * dy / dt = c ( y + s / c)
那么，可以看出，dy / dt = c ( y + s / c )，其实是从 (0 , y(0) + s / c )为起点的
结论：
y(t) + s / c = (y(0) + s / c) ect (对应于式子一)
以上说了这么多，就是说，t 时刻 y 的增长速度（dy / dt），受t时刻的状态 y(t) 的影响，所以有各种：
dy / dt = cy + s各式。
应用例子一：
假如有人口方程 p(t) ， 那么应该用什么样的微分方程，描述人口增长比较合理？
首先，我们不直接猜想P(t) ， 而是P'(t) ，这很重要，也是中心思想。解决这类问题，从猜想其变化速度入手。
dP / dt = cP - sP2， c表示出生率（速度受到出生率的影响），s表示衰减因子（因为可能人太多，出现竞态）导致速度下降。
情况一：dP / dt = 0，表示人口永远不增长，人口保持稳定（或者在某个时刻t，速度变为0）
P = c / s（100亿？）
情况二：P'(0) = A， 表示我们根据历史数据，从计算的时刻t = 0开始，有一个初始速度。
那么，如何求解出P??
方法一：
令 y(t) = 1 / P(t)
那么 dy / dt = -1 / P2(t) * dP/ dt = (cP - sP2) / P2 = s - c / p = s - cy（跟上面提到的式子非常相似）
y(t) - s / c = ( y(0) - s / c ) e-ct
那将y(t)代回，即可得出P(t) ;
*函数在下一刻的速率，受到函数当前的值的影响，必须考虑函数本身就是 y = a * ecx + b 的形式
*这个价值在于，变化的速度，最终的稳定值，会根据自身值调整
应用例子二：
有关捕食者和猎物的关系：猎物不够，捕食者自然减少；捕食者减少，猎物又会自动补充。
捕食者的增长速度：du / dt = - c u + s * u * v ; - c u 表示猎物减少的情况
猎物的增长速度：dv / dt = c v - s * u * v；
记住，六个最基本的导数：
xn nxn-1
sin x cos x
cos x -sin x
ecx cecx
lnx 1/x
二重积分的几何解析
首先，二重积分就是求不规则立方体的体积
V = ∫∫D f(x,y) dx dy
显然，仅仅靠已知f(x, y)和一个符号D是求不到的
所以，D应该有一个范围
D = { (x,y) | a <= x <= b && φ1(x) <= y <= φ2(x)} 意思是，D是x，y平面的一个封闭范围
直观告诉我，体积 = 底面积 * 高
那以X轴方向看过去，以蓝色部分为底面。
1. 先解决底面面积 S ：
在X0处，Z = f (X0, y)， 如果蓝色部分是矩形的话，也就是X是定值，那么只需要 S = Z * （φ2(x0) - φ1(x0)）即可。
但是，由与Z是函数，那么，所以 S = ∫ f(x0,y) dy ，积分区间（φ2(x0) ~ φ1(x0)）
对于每处X的截面，都有 S = ∫ f(x,y) dy，积分区间（φ2(x0) ~ φ1(x0)）
到此，只解决了一个底面的问题。
2. 假如从a开始，每一个△X，计算一次面积，加起来就是体积，也就是：
V = Σ S △X ， 当三角形X被切成无穷小，则有：
V = ∫ S dx ，积分区间(a ，b)
所以，求V分两步走：
1. 求S，将f(x, y) 中的x当做常数，在区间（φ2(x) ~ φ1(x)）求积分， 即求出F(φ2(x)) - F(φ1(x)) 。 F即关于y的原函数。
2. V = ∫ S dx 应该只剩x了，按老办法，对S在区间(a ，b)积分。