测绘佬不得不知道的线性代数（二）：以全站仪求坐标精度为例

例子：

已知全站仪先验测角中误差为：e = σ_har =σ_var ，单位：秒。

测距中误差为：a+b*S   注：b单位： 10^-6，S单位：km，也为斜距中误差σ_sd

水平距离计算公式：HD = SD * sin(Var)，

竖直距离计算公式：VD = SD * cos(Var)

泰勒一阶展开得：（泰勒展开详解参照：https://www.cnblogs.com/pylblog/p/10225053.html）

 HD = HD₀ + dHD/dSD * (SD-SD₀) + dHD/dVar * (Var-Var₀)  * ρ 

 VD = VD₀ + dVD/dSD * (SD-SD₀) + dVD/dVar * (Var-Var₀)  * ρ 

 Har = Har

 (SD为真正的无误差值，不可知；而SD₀ 假如仪器精度足够高，和真值差别在0.001位，那么二阶项的位数是10^-6 次方，可以忽略二阶乃至高阶项了)

（我不会告诉你，用泰勒一阶展开式代替原式，不考虑高次项的基本条件就是：原值x₀ 必须要足够接近真值，否则高次项必须考虑）

常数ρ是几个意思呢？

以HD为例子：

dHD/dSD =  sin(Var) , Sin(Var) * (SD-SD₀) 单位仍然是m

dHD/dVar =  SD*Cos(Var) , 单位是m，然而，SD*Cos(Var) (Var-Var₀) 单位是 m * ° ，为了使得单位统一，思考一下:

意思是角度误差A，单位：秒，导致在一定距离S下，角度平面方向上造成的距离偏差 : 

d / (2 π s) = A / (360*60*60)

d ≈ A * S * 1 / 206265 

所以，ρ  = 1 / （360*60*60）/ (2 π) ≈ 1 / 206265 

由此可得，

所以：

SD,Var,Har他们观测是相互独立的，属于最底层的独立观测值，所以其协方差可以大胆的写为0了；

同理，我们检验一个坐标的精度，那么：

X = Xst + HD * cos(Har)

Y = Yst + HD * sin(Har)

Z = Zst + VD

 假如 Xst , Yst ,Zst都无误差的话，泰勒一阶展开，那么：

 但是， Xst , Yst ,Zst 往往是传导下来的，其实有误差的，那么：