树状数组学习笔记

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#推荐学习树状数组的博客：

1.[树状数组简单易懂的详解](https://blog.csdn.net/flushhip/article/details/79165701)

2.[可以代替线段树的树状数组?——树状数组进阶(1)](https://www.luogu.org/blog/Chanis/super-BIT)

#概念

树状数组顾名思义就是长得像树的数组（nm这还用你说）

先放张图看一下下：

这是一颗普通的二叉树

巴啦啦能量沙罗沙罗二叉树全身变:

C[i]代表 子树的叶子结点的权值之和:

C[1]=A[1];
C[2]=A[1]+A[2];
C[3]=A[3];
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
C[5]=A[5];
C[6]=A[5]+A[6];
C[7]=A[7];
C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

然后在把他们二进制表示一下：将每一个二进制，去掉所有高位1，只留下最低位的1，然后从那个数一直加到1

1=(001)      C[1]=A[1]
2=(010)      C[2]=A[1]+A[2]
3=(011)      C[3]=A[3]
4=(100)      C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]
5=(101)      C[5]=A[5]
6=(110)      C[6]=A[5]+A[6];
7=(111)      C[7]=A[7]
8=(1000)    C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8]

C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]......+A[i] （k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度）

模板：

lowbit：

#define lowbit(i) i&-i

lowbit(x) 其实就是取出x的最低位1  也就是 lowbit(x)=2^k

区间查询:

就是前缀和，比如查询x到y区间的和，那么就将从1到y的和-从1到x的和。

从1到y的和求法是，将y转为2进制，然后一直减去lowbit(y)，一直到0

l find(int x) {
    ll kkk=0;
    for(int i=x; i; i-=lowbit(i)) {
        kkk+=t[i];
    }
    return kkk;
}

单点修改：

而如果改变x的值，就要加上自己的lowbit，一直加到n，这些节点都要加，比如一共有8个数第3个数要加上k，那么c[0011]+=k;

c[0011+0001] (c[0100])+=k;

c[0100+0100] (c[1000])+=k;

这样就能维护树状数组

void insert(int x,int y) {
    for(int i=x; i<=n; i+=lowbit(i)) {
        t[i]+=y;
    }
}

区间修改

这就会变的很好玩。如果将x到y区间加上一个k，那就是从x到n都加上一个k，再从y+1到n加上一个-k

加的移动还是i+=lowbit(i);

 void add(int x,int k)
    {
        while(x<=n)
        {
            tree[x]+=k;
            x+=lowbit(x);
        }
    }

例题：

P3374 【模板】树状数组 1

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<string>
#include<cstring>
#define ll long long int
#define lowbit(i) i&-i
#define MAXN 500050
using namespace std;
const int maxn=999999999;
const int minn=-999999999;
inline int read() {
    char c = getchar();
    int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {
        if(c == '-') f = -1;
        c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
ll t[MAXN],a[MAXN],b[MAXN],ans,n,m;
ll find(int x) {
    ll kkk=0;
    for(int i=x; i; i-=lowbit(i)) {
        kkk+=t[i];
    }
    return kkk;
}
void insert(int x,int y) {
    for(int i=x; i<=n; i+=lowbit(i)) {
        t[i]+=y;;
    }
}
int main() {
    n=read(),m=read();
    for(int i=1; i<=n; ++i) cin>>a[i],insert(i,a[i]);
    while(m--) {
        int p,xx,yy;
        cin>>p>>xx>>yy;
        if(p==1)    insert(xx,yy);
        else if(p==2) cout<<find(yy)-find(xx-1)<<'
';
    }
    return 0;
}

P3368 【模板】树状数组 2

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<string>
#include<cstring>
#define ll long long int
#define MAXN 500001
#define lowbit(i) i&-i
using namespace std;
const int maxn=999999999;
const int minn=-999999999;
inline int read() {
    char c = getchar();
    int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {
        if(c == '-') f = -1;
        c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int t[MAXN],a[MAXN],n,m,ans,last,d[MAXN];
int find(int x) { //单点查询
    int aans=0;
    /*while(x) {
        aans+=t[x];
        x-=lowbit(x);
    }*/
    for(int i=x; i; i-=lowbit(i)) {
        aans+=t[i];
    }
    return aans;

}
void insert(int x,int y) {
    for(int i=x; i<=n; i+=lowbit(i)) {
        t[i]+=y;

    }
}
int main() {
    n=read();
    m=read();
    for(int i=1; i<=n; ++i) {
        cin>>a[i];
　　　　　/*这里很重要*/　　
　　/* 

　　　　这里运用了差分思想，假设原本的数据存在a数组中，
　　　　那么c数组储存的就是c[i]=a[i]-a[i-1]，如果c[1]=a[1]，那么很明显
　　　　a[i]=c[i]+c[i-1]+c[i-2]+...+c[2]+c[1].
　　　　这样我们每次单点查询的时候只要加上c数组的前缀就可以了。
　　　　*/

       d[i] = a[i] - a[i-1];
        insert(i, d[i]);
    }
    while(m--) {
        int f,xx,yy,zz;
        cin>>f;
        if(f==1) {
            cin>>xx>>yy>>zz;
            insert(xx,zz);
            insert(yy+1,-zz);//把多的部分删掉
        } else if(f==2) {
            cin>>xx;
            cout<<find(xx)<<'
';
        }
    }
    return 0;
}

 

 出处:

https://blog.csdn.net/Small_Orange_glory/article/details/81290634)