数学理论基础

理论基础

下面该栏目列出一些可能会用到的已经证实的理论! 大多数的理论均来自^[1].

对于 (forall x,y,z in X), 若存在映射

[egin{aligned} d:; &X imes X ightarrow mathbb{R}^1\ &(x,y) mapsto d(x,y) end{aligned} ]

定义如下几个性质:

1. 非负性: (d(x,y)geq 0, d(x,y)=0Leftrightarrow x=y)
2. 对称性: (d(x,y) = d(y,x))
3. 三角不等式: (d(x,y)leq d(x,z) + d(z,y))

1 距离空间

定义 1.1 设 (X) 是非空集合, 对于 (forall x,y,z in X), 若存在映射

[egin{aligned} d:; &X imes X ightarrow mathbb{R}^1\ &(x,y) mapsto d(x,y) end{aligned} ]

同时满足非负性, 对称性, 三角不等式, 则称 (d(x,y)) 是元素 (x) 与 (y) 之间的距离. 在集 (X) 中定义了距离 (d) 之后, 就称 (X) 为距离空间, 记作 ((X,d)). ((X,d)) 中的元素又称为点.

设 (A) 是距离空间 ((X,d)) 的子集, 则 (A) 按 (X) 中定义的距离 (d) 也形成一个距离空间 ((A,d)), 称为 ((X,d)) 的子空间, 有时我们也简称 (A) 是 (X) 的子空间.

1.1 由距离导出的拓扑概念

设 (X = (X,d)) 为距离空间, (x_0 in X, r > 0,) 则

[B(x_0,r) = {xin X: d(x,x_0) < r} ]

称为以 (x_0) 为中心, (r) 为半径的 (r) 球形邻域; 而

[overline{B}{(x_0,r)} = {xin X: d(x,x_0) leq r} ]

称为以 (x_0) 为中心, (r) 为半径的 (r) 闭球.

(S(x_0,r)={xin X: d(x,x_0) = r}) 称为球面. 设 (A,B subset X,) 则 (d(x,B) = inf; {d(x,y):y in B}) 称为 (x) 与集 (B) 之间的距离; (d(A,B) = inf; {d(x,y):x, in A,y in B}) 称为集 (A) 与 (B) 之间的距离.

(operatorname{diam} A = sup {d(x,y):x,yin A}) 称为集 (A) 的直径. 设 (Asubset X), 若存在球 (B(x_0,r) supset A,) 则称 (A) 为 (X) 中的有界集.

定义 1.2 设 (x_n, x_0 in X,) 若

[lim_{n ightarrow infty} d(x_n,x_0) = 0 ]

即 (forall ε > 0, ∃ N,) 使得 (∀ n geq N,) 有 (d(x_n,x_0) < ε), 则称点列 ({x_n}) 收敛于 (x_0), 记作 (displaystylelim_{n ightarrow infty} x_n = x_0) 或 (x_n ightarrow x_0\,(n ightarrow infty)).

1.2 完备性

定义 1.3 设 ({x_k}) 是距离空间 ((X,d)) 中的点列, 若 (∀ε>0,∃N,) 使得 (∀m,n in N,) 有 (d(x_m,x_n) < ε,) 则称 ({x_k}) 是 ((X,d)) 中的柯西点列或基本点列.

定义 1.4 设 ((X,d)) 为距离空间, (E ⊂ X,) 若 (E) 中每个柯西点列都收敛于 (E) 中的点, 则称 (E) 为完备集, 特别, 当 (E=X) 时, 称 ((X,d)) 为完备距离空间.

由实数的完备性, 我们可得 (mathbb{R}^n) 是完备的.

2 赋范线性空间

在高等代数课程中, 已经熟悉在集合 (X) 中引入线性运算 ((X) 中元素的加法和数乘运算) 就形成了线性空间. 设 (x_1. x_2, cdots,x_n) 是数域 (K) 上线性空间的一组元素, 若存在不全为 (0) 的数 (alpha _k in K), 使得 (displaystylesum_{k=1}^n alpha _kx_k = 0), 则称 (x_1. x_2, cdots,x_n) 是线性相关的, 否则, 称 (x_1. x_2, cdots,x_n) 线性无关, 即若 (displaystylesum_{k=1}^n alpha _kx_k = 0), 则 (alpha _k=0). 设 (X) 的子集 (A) 中任何有限个向量都线性无关, 则称 (A) 为线性无关集; 若 (A) 对 (X) 中的线性运算是封闭的, 则称 (A) 为 (X) 的线性子空间, 简称子空间.
称

[operatorname{span}A = {y = displaystylesum_{k=1}^n alpha _kx_k:x_kin A,alpha _kin K, ∀n} ]

为由 (A) 张成的子空间, 或称 (A) 的线性包. 设 (A) 是 (X) 的线性无关子集, 若 (operatorname{span}A=X), 即对 (∀xin X,∃x_k in A, alpha _kin K,) 使得 (x = displaystylesum_{k=1}^n alpha _kx_k), 则称 (A) 为 (X) 的一组线性基 (或 Hamel 基), 称 (A) 的基数为 (X) 的维数, 记作 (operatorname{dim} A).

设 (X, Y) 为数域 (K) 上的线性空间. 若 (T: X ightarrow Y) 是满单射且为线性映射, 即: 对 (forall x,y in X, alpha , eta in K), 有

[T(alpha x + eta y) = alpha Tx + eta Ty ]

则称 (X) 与 (Y) 线性同构或代数同构. (T) 称为同构映射, 数域 (K) 上两个有限维线性空间 (X) 与 (Y) 同构的充要条件是 (X) 与 (Y) 的维数相同.

为了在线性空间中引入拓扑概念, 下面我们引入范数的定义, 通过范数来定义距离.

定义 2.1 设 (X) 是数域 (K) (实数域 (mathbb{R}) 或复数域 (mathbb{C})) 上的线性空间, 若存在映射

[egin{aligned} T:;&X ightarrow mathbb{R}^1\ &xmapsto ||x|| end{aligned} ]

满足:

• (||x|| geq 0,) 且 (||x|| = 0 Leftrightarrow x=0)
• (||alpha x|| = |alpha |||x||, alpha in K) (绝对齐性)
• (||x+y|| leq ||x|| + ||y||, x,yin X) (三角不等式)

则称 (||x||) 是元素 (x) 的范数, 定义了范数 (||⋅||) 的线性空间 (X) 称为赋范线性空间, 记作 ((X,||cdot||)).

若对 (∀ x,yin X,) 令

[d(x,y) = ||x-y|| ]

则易证 (d) 是 (X) 上的距离空间, 称 (d) 为由范数 (||⋅||) 导出的距离.

定义 2.2 设 ((X,||cdot||)) 是赋范线性空间, ({x_n}) 是 (X) 中的点列, (x in X), 若

[d(x_n,x) = ||x_n-x|| ightarrow 0(n ightarrow infty) ]

则称 ({x_n}) 依范数收敛于 (x) (或 ({x_n}) 强收敛于 (x)), 记作 (displaystylelim_{n ightarrow infty} x_n = x) 或 (x_n ightarrow x\,(n ightarrow infty)).

完备的赋范线性空间称为 Banach 空间, 简称为 (B) 空间. 用范数刻画有界集: 若 (A⊂ X, displaystylesup_{xin A} ||x||<infty), 则称 (X) 为有界集.

定义 2.3 设 ({e_n}) 是赋范线性空间 ((X,||cdot||)) 中的可数集, 若对 (∀ x in X,) 在数域 (K) 中存在唯一确定的数列 ({c_k}), 使得

[||x - displaystylesum_{k=1}^n c_ke_k|| ightarrow 0;(n ightarrow infty) ]

则称 ({e_n}) 为 (X) 的 Schauder 基, 简称为 (S) 基, 记作

[x = displaystylesum_{k=1}^{infty} c_ke_k ]

上式称为 (x) 关于基 ({e_n}) 的展开式.

定义 2.4 设 (X) 是线性空间 (X) 中的子集, (x,yin X), 集合 ({λx + (1-λ)y:0leq λ leq 1}) 称为联结 (x,y) 两点的线段, 记作 ([x,y]). 若对 (forall x,yin X, [x,y] subset A,) 则称 (A) 为 (X) 中的凸集, 而集 ({x=displaystylesum_{k=1}^n λ_kx_k: λ_k geq 0, displaystylesum_{k=1}^n λ_k = 1}) 称为 (x_1,x_2,cdots,x_n) 的凸组合. 我们很容易知道 (X) 的线性子空间是凸集.

赋范线性空间 ((X,||cdot||)) 中的单位球 (B(0,1)={xin X: ||x||leq 1}) 是 (X) 中的凸集.

3 内积空间

定义 3.1 设 (X) 是数域 (K) (实数域 (mathbb{R}) 或复数域 (mathbb{C})) 上的线性空间, 若存在映射

[egin{aligned} T:;&X imes X ightarrow K\ &(x,y) mapsto (x,y) end{aligned} ]

满足:

• 正定性: ((x,x) geq 0, (x,x)=0 ⇔ x=0)
• 对第一变元线性: ((alpha x+βy,z) = alpha (x,z) + β(y,z); x,y,zin X, alpha ,β in K)
• 共轭对称性: ((x,y) = overline{(y,x)})

则称 ((x,y)) 为 (x,y) 的内积, 定义了内积的线性空间 (X) 称为内积空间.

定义 3.2 设 (X) 为内积空间, (x,yin X,) 若 ((x,y)=0), 则称 (x) 与 (y) 正交, 记作 (x ot y); 设 (A, B ⊂ X,) 若对 (∀y in A, (x,y)=0,) 则称 (x) 与 (A) 正交, 记作 (xot A); 若对 (∀x in A, y in B, (x,y)=0,) 则称 (A) 与 (B) 正交, 记作 (A ot B), 集 (A^{ot} = {xin X: xot A}) 称为 (A) 的正交补, (A^{otot} =(A^{ot})^{ot}).

定理 1 设 (X) 是数域 (K) 上的内积空间, 则对 (∀x,y in X), 成立 Schwarz 不等式:

( |(x,y)|^2 leq (x,x)(y,y) )

仅当 (x,y) 线性相关时等号成立.

定理 2 设在内积空间 (X) 中, 令

[||x|| = sqrt{(x,x)} ]

则 (||cdot||) 是 (X) 上的范数, 从而 ((X, ||cdot||)) 为赋范线性空间.
完备的赋范线性空间称为 Hilbert 空间.

定理 3 设 (X) 为内积空间, 则内积 ((x,y)) 是 (x,y) 的连续函数, 即若 (x_n ightarrow x, y_n ightarrow y), 则 ((x_n,y_n) ightarrow (x,y)(n ightarrow infty)).

定理 4 赋范线性空间 ((X,||cdot||)) 是内积空间的充要条件是其范数要满足平行四边形法则:

[||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2(||x||^2 + ||y||^2) ]

定理 5 设 (X) 为内积空间, (A,B) 为 (X) 中的非空子集, 则

• 若 (xot y), 则 (||x+y||^2 = ||x||^2 = ||y||^2) (勾股定理)
• (A^{ot}) 是 (X) 的闭线性子空间
• (A⊂B⇒A^{ot} ⊃ B^{ot})
• (A ∩ A^{ot} = {0}) 或 (∅)
• ((overline{A})^{ot} = A^{ot}; (overline{operatorname{span}A})^{ot} = A^{ot})
• (X^{ot} = {0}, {0}^{ot} = X)

3.1 最佳逼近问题

设 (X=(X,d)) 为距离空间, (A) 为 (X) 的非空子集, 则 (x) 到 (A) 的距离为

[d(x, A) = inf {d(x,y):yin A} ]

对于 (x in X), 若存在 (y_0in A), 使得

[d(x,y_0) = d(x,A) ]

则称 (y_0) 是 (x) 在集 (A) 中的最佳逼近元.

定理 6 (变分引理) 设 (X) 为内积空间, (A) 是 (X) 中非空完备凸集, 则对 (∀ x in X), 存在唯一的最佳逼近元 (y_0in A), 成立

[||x-y_0|| = inf { ||x-y||: yin A}. ]

若 ({y_n}⊂A), 使得

[displaystylelim_{n→∞} ||x-y_n|| = inf { ||x-y||: yin A} ]

成立, 则称 ({y_n}) 为极小化序列.

定理 7 (正交分解 或 投影定理) 设 (A) 是内积空间 (X) 的完备子空间, 则对任意 (xin X), 存在唯一的正交分解:

[x = y_0 + z, y_0in A, zin A^{ot} ]

设 (X) 为线性空间, (A,B) 为 (X) 的子空间, 则 (A) 与 (B) 的直和定义为

[A + B={x = y+z:yin A zin B} ]

设 (X) 为内积空间, 当 (Aot B) 时, 称直和为正交和, 记作 (Aoplus B), 即

[A oplus B={x = y+z:yin A zin B, ext{且 }(y,z)=0 } ]

定义 3.3 设 (A) 是内积空间 (X) 的子空间, (xin X), 若存在 (yin A, zin A^{ot}), 使得 (x=y+z), 则称 (y) 是 (x) 在 (A) 上的正交投影, 简称投影, 记作 (y=P_Ax), 并称 (P_A: X→ A) 为投影算子. 定理 7 表明当 (A) 是内积空间 (X) 的完备子空间时, (X) 可以分解为 (X = A oplus A^{ot}).

4 嵌入

定义 4.1 设 ((X, d_1)) 和 ((Y, d_2)) 是距离空间, 若存在双射 (T: X ightarrow Y), 使得

[d_2(Tx_1,Tx_2) = d_1(x_1,x_2), ;;; forall x_1,x_2 in X ]

则称 ((X, d_1)) 与 ((Y, d_2)) (通过 (T)) 等距同构, (T) 称为等距同构映射. 若 ((X, d_1)) 与 ((Y, d_2)) 的某个子空间 ((Y_0,d_2)) 等距同构, 则称 ((X,d_1)) 可嵌入 ((Y,d_2)). 在等距同构的意义下, 可将 ((X,d_1)) 看作 ((Y,d_2)) 的子空间, 并简记为

[(X, d_1) subset (Y, d_2) ]

注意 : 从集合角度来看, (X) 不一定是 (Y) 的子集.

定义 4.2 设 (X) 与 (Y) 是赋范线性空间, 若算子 (T: X ightarrow Y) 满足 (||Tx|| = ||x||, forall x in X), 则称 (T) 是 保范算子. 若线性算子 (T: X ightarrow Y) 是双射, 则称 (T) 是 等距同构映射, 简称 同构映射. 这时称 (X) 与 (Y) 等距同构, 简称 同构, 记作 (X=Y).
若存在 (A subset Y), 使得 (A) 与 (X) 同构, 则称 (X) 可嵌入到 (Y) 中.

若一个抽象的赋范线性空间 (X) 与一个具体的赋范线性空间 (Y) 同构, 则称 (Y) 是 (X) 的一个表示.
注意 : 若将定义 2中的线性改为共轭线性, 即

[T(alpha x + eta y) = overline{alpha} Tx + overline{eta} Ty, forall alpha, eta in K ]

则称 (X) 与 (Y) 共轭同构, 仍记作 (X=Y).

定义 4.3 设 (X) 与 (Y) 是数域 (K) 上的赋范线性空间, (D) 是 (X) 的线性子空间. 若映射 (T: D ightarrow Y) 满足

• 可加性: (T(x+y)=Tx+Ty,;;; x,y in D)
• 齐性: (T(alpha x) = alpha Tx,;;; x in D, alpha in K)

则称 (T) 是 (D) 到 (Y) 的线性算子; 称 (D(T) = D) 为 (T) 的定义域; 称 (R(T) = {Tx|xin D }) 为 (T) 的值域; 并称

[N(T)(=ker(T)) = {x in D | Tx=0} = T^{-1}(0) ]

为 (T) 的零空间 (或核).

有界线性算子范数 设 (X) 与 (Y) 是赋范线性空间, 若 (T:X ightarrow Y) 为 有界线性算子, 则称

[||T|| = sup{||Tx||/||x||: x in X, x eq 0 } ]

为 有界线性算子范数.

有界线性算子空间 设 (X) 与 (Y) 是数域 (K) 上的赋范线性空间, (X) 到 (Y) 的有界线性算子全体记作 (B(X,Y)). (forall T_1,T_2 in B(X, Y), alpha in K). 对于 (forall x in X), 规定线性运算为:

[ egin{aligned} &(T_1 + T_2) (x) = T_1x + T_2x, \ &(alpha T)(x) = alpha Tx end{aligned} ]

易知, ((B(X,Y),||cdot ||)) 是赋范线性空间, 称为 有界线性算子空间.
特别, 当 (Y=K) 时, 简记作 (B(X, K) = X^{*}), 并称其元素为 有界线性泛函, 且 (X^{*}) 称为 (X) 的 共轭空间.

定义 4.4 设 (X) 是数域 (K) 上的赋范线性空间, 若 (X^{*} = X), 则称 (X) 为 自共轭空间.

定理 8 任何赋范线性空间 ((X, ||cdot||)) 都与 (X^{**}) 的子空间保范线性同构, 在同构的意义下, 可记作 (X subset X^{**}), 即
(forall x in X), 定义泛函 (F_x: X^{*} ightarrow K), (f mapsto f(x)), 即

[F_x(f) = f(x) ;; ext{ $x$ 固定, $forall f in X^{*}$ } ]

则 (F_x in (X^{*}) = X^{**})， 且 (||F_x|| = ||x||).

定理 9 (n) 维实赋范线性空间 (E_n), 有 ((E_n)^{*} = E_n).
设 (e_1,cdots, e_n) 是 (E_n) 的一组基, 则 (forall f in (E_n)^{*}), 存在唯一的 (alpha = (alpha_1, cdots, alpha_n) in E_n), 使得 (f) 在 (E_n) 上的表示为

[f(x) = displaystylesum_{k=1}^n x_kalpha_k,;; forall x in E_n, x = sum_{k=1}^n x_ke_k ]

实际上, $alpha_k = f(e_k) $ 是由 (f) 唯一确定的. 同时, ((E_n)^{*}) 中的泛函 (f) 的范数 (||f|| = ||alpha||) 则依赖于 (E_n) 中元素 (x) 的范数 (||x||) 的选取.

4.1 重要技巧

将原空间 (X) 的问题通过嵌入映射 (mathcal{T}) 转换为 (X^{**}) 中的问题, 即将 (xin X) 转换为 (F_x in X^{**}), 且 (||F_x|| = ||x||). 而线性泛函 (F_x) 要比抽象空间 (X) 中的元素 (x) 更容易处理.

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1. 匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京:高等教育出版社.2002.8 ↩︎