最长公共子序列(LCS)

最长公共子序列问题在算法导论中引申自确定DNA序列相似度的问题：给定两个DNA序列S1和S2，寻找第三个序列S3，要求序列S3中的元素都来源于S1和S2，且在这三个序列中先后顺序相同，但在S1和S2中不要求连续，如果找到这样的S3序列越长，可以认为S1和S2相似度越高。

问题描述：

给定两个序列X=<x₁,x₂,x₃...x_m>和序列Y=<y₁,y₂,y₃...y_n>，求X和Y的最长公共子序列(LCS)。

分析：

分析其最优子结构性质需要从x_m和y_n入手，假设序列Z=<z₁,z₂,z₃...z_k>是序列X和Y的LCS

1、如果x_m=y_n，说明这两个元素（实际上为同一个）必然在Z中，由于这两个元素同时最为X和Y的最后一个元素，不难推断，x_m=y_n=z_k必然成立，从Z中排除掉z_k剩下的序列Z_k-1=<z₁,z₂,z₃...z_k-1>必然是X_m-1和Y_n-1的一个LCS。

2、如果x_m!=y_n，且z_k!=x_m，那么x_m必定不在Z中，但是y_n有可能在Z中，因此可以判定，Z是X_m-1和Y的一个LCS。

3、如果x_m!=y_n，且z_k!=y_n，那么y_n必定不在Z中，但是x_m有可能在Z中，因此可以判定，Z是X和Y_n-1的一个LCS。

 用C(i,j)表述Xi和Yi的LCS，其递推式可以表示为：

实际上可以看出对于每一个子问题C(i,j)的求解，不会用到太多的子子问题的解，字需要用到C(i-1,j-1)的解或者C(i-1,j)和C(i,j-1)的解。

也就是说求解当前表格的值只有其左方表格，上方表格和左上方的表格有关。

因此填充C(i,j)二维表格的顺序应该是从左到右，从上到下的顺序，这也是求解子问题的顺序。

算法实现：

package agdp;

import java.util.Arrays;
public class LCS {
    public static int getLCS(String strA,String strB){
        int m = strA.length();
        int n = strB.length();
        int[][] aux = new int[m+1][n+1];//aux的第0行和第0列充当哨兵，无实际含义
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (strB.charAt(j) == strA.charAt(i)) {
                    aux[i+1][j+1] = aux[i][j]+1;
                }else {
                    aux[i+1][j+1] = Math.max(aux[i+1][j], aux[i][j+1]);
                }
            }
        }
        return aux[m][n];
    }
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
//        String strA = "ABCBDAB";
//        String strB = "BDCABA";
        String strA = "abfgkhrc";
        String strB = "11a11bfgh33";
        int result = getLCS(strA, strB);
        System.out.println(result);
    }

}

参考资料：

算法导论.第十五章