树状数组

inline void add( LL s, LL num ){
    while(s<=n) tree[s] += num,s += lowbit(s);
    return ;
}
inline LL ask (LL s) {
    LL ans = 0 ;
    while ( s >= 1) ans += tree [s] ,s -= lowbit(s);
    return ans;
}

树状数组或者二叉索引树也称作Binary Indexed Tree，又叫做Fenwick树；它的查询和修改的时间复杂度都是log(n)，空间复杂度则为O(n)，这是因为树状数组通过将线性结构转化成树状结构，从而进行跳跃式扫描。通常使用在高效的计算数列的前缀和，区间和。

其中a数组就是原数组，c数组则是树状数组，可以发现

C1 = A1
C2 = A1+A2
C3 = A3
C4 = A1+A2+A3+A4
C5 = A5
C6 = A5+A6
C7 = A7
C8 = A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8

15=(1111)2，通过lowbit分解，它可以变成4个数的和：(1111)2=(1)2+(10)2+(100)2+(1000)2，然后我们分析这个倒着跳的过程。减去15的最小的2的幂次2^0得到14。减去14的最小的2的幂次2^1得到12。减去12的最小的2的幂次2^2得到8。减去8的最小的2的幂次2^3得到0。

所以C(15) = C(14) + C(12) + C(8) + C(0)，由图也可以得知，其结果是正确的。

除此之外，树状数组能够快速的求任意区间的和，设sum(k) = A[1] + A[2] + ... + A[k]，则A[i] + A[i+1] + ... + A[j] = sum(j) - sum(i-1)。

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,j,n) for(register int i=j;i<=n;i++)
#define Rep(i,j,n) for(register int i=j;i>=n;i--)
#define low(x) x&(-x)
using namespace std ;
typedef long long LL ;
const int inf = INT_MAX >> 1 ;
inline LL In() { LL res(0) , f(1) ; register char c ;
#define gc c = getchar()
    while(isspace(gc)) ; c == '-' ? f = - 1 , gc : 0 ;
    while(res = (res << 1) + (res << 3) + (c & 15) , isdigit(gc)) ;
    return res * f ;
#undef gc
}

inline void Ot() {
    while(1) {
        int x = In() ;
        cout << (low(x)) << '
' ;
    }
}
signed main() {
//  freopen("test.in,"r",stdin) ;
    return Ot() , 0 ;
}

lowbit是最低位 求法：x&(-x)

支持手工模拟

#ifdef Dubug

#endif
#include <bits/stdc++.h>

#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;
typedef long long LL ;
inline LL In() { LL res(0),f(1); register char c ;
    while(isspace(c=getchar())) ; c == '-'? f = -1 , c = getchar() : 0 ;
    while(res = (res << 1) + (res << 3) + (c & 15) , isdigit(c=getchar())) ;
    return res * f ;
}

LL n , q ;
const int N = 1e6 + 5 ;
LL tree[N] ;
inline void Add(int x,int y) {
    for(;x<=n;x+=lowbit(x)) tree[x] += y ;
}

inline LL ask(int x) {
    LL ans = 0 ;
    for(;x>=1;x-=lowbit(x)) ans += tree[x] ;
    return ans ;
}

signed main () {
    n = In() , q = In() ;
    for(register int i=1;i<=n;i++) {
        int x ;
        x = In() ;
        Add(i,x) ;
    }
    for(register int i=1;i<=q;i++) {
        int x , y , z ;
        x = In() , y = In() , z = In() ;
        if(x == 1) Add(y,z) ;
        if(x == 2) cout << ask(z) - ask(y-1) << endl ;
    }
    return 0 ;
}

超级树状数组 -> [Here]