T3

T3 题解

题目：

题目背景

• 致远星舰队旗舰——“养生壶”号上（别问为啥，外星人的语言习惯）

• 装着全致远星最先进的密码保护系统

• 你作为OI星最强的间谍——（代号：映山红）

• 偷偷来到了这艘战舰上

• 你经历重重历险终于来到了战舰的总控室

• 密码系统作为高级货当然不是静态的

• 它描绘的是这样一个问题：

• 计算满足：1到n内，gcd(x,y)为素数的数对有多少。

• 现在帝国的护卫队已经发现了你的踪迹

• 你能够使用的就是一台性能与公元$2000$年电脑性能几乎无差的掌上解码器

• 你需要在尽可能短的时间内算出问题的答案

题目描述

• 求1≤x,y≤n中 , 满足：gcd(x,y)为素数的数对有多少。

输入格式

• 一行一个数n

输出格式

• 一行一个数 , 表示满足条件的数对数量

输入输出样例

输入 #1

4

输出 #1

4

输入 #2

12

输出 #2

39

说明/提示

• 对于10%的数据，保证n≤10

• 对于50%的数据，保证n≤10⁵

• 对于100% 的数据 , 保证n≤10⁷

• 数据随机生成 , 大佬们可以暴力踩标程 (bushi)

翻译一下题意：给定一个正整数n，求1≤x,y≤n中满足gcd(x,y)为素数的数对有多少。

思路：

既然gcd(x,y)是一个质数，那么我们可以认为，如果我们假设gcd(x,y)的值为p，则gcd(x/p,y/p)的值一定为1。既然这样，那么我们就可以先求出1到n中所有的素数，然后再依次求出对于1到n/p[i]的x和y，满足gcd(x,y)=1的素数的个数。

我们在求对于每一对1≤x,y≤n/p[i]的x和y，满足gcd(x,y)=1的数对的对数时，不妨设x≤y（如果不满足则交换x和y的顺序）。

我们考虑对于每一个确定的y，因为x≤y，所以对于每一对1≤x,y≤n/p[i]的x和y，当我们给定一个确定的y值的时候，满足gcd(x,y)=1的数对的对数就等于φ(y)的值。

因而，对于每一对1≤x,y≤n/p[i]的x和y，满足gcd(x,y)=1的数对的对数就等于∑(i=1->n/p[i])φ(i)。

这样我们就可以得出这道题的完整思路：

我们先跑一遍筛素数（这里用线性筛即可），筛出1到n之间的所有质数，以及求出1到n之间每个数i的φ(i)的值，然后再枚举质数，求出对于1到n的每一个质数p[i]，它所对应的∑(i=1->n/p[i])φ(i)的值，最后再一次进行累加求和。

完整代码（by 巨佬HWH）：

#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;

const ll N=1e7+9;
ll pr[N],ph[N];

int main()
{
    register ll n,i,j,k=0,p;
    register long long s=0,t=0;
    
    scanf("%lld",&n);
    
    ph[1]=1;
    for(i=2;i<=n;++i)
    {    
        if(!ph[i]) pr[++k]=i,ph[i]=i-1;
        for(j=1;p=i*pr[j],p<=n&&j<=k;++j)
        {
            if(i%pr[j]==0)
            {
                ph[p]=ph[i]*pr[j];
                break;
            }
            else ph[p]=ph[i]*ph[pr[j]];
        }
    }
    
    for(i=1,j=k;j;--j)
    {
        for(p=n/pr[j];i<=p;++i)t+=ph[i];
        s+=t;
    }
    
    printf("%lld",(s<<1)-k);
    return 0;
}