一、实验目的
掌握图的基本概念，描述方法；遍历方法。
二、实验内容
1、创建图类。二叉树的存储结构使用邻接矩阵或链表。
2、提供操作:遍历、BFS、DFS
3、对建立好的图，执行上述各操作。
4、输出生成树。
1、 输出最小生成树。
三、最小生成树的思想
(1)、2个for循环都是从2开始的，因为一般我们默认开始就把第一个节点加入生成树，因此之后不需要再次寻找它。
( 2)、lowcost[i]记录的是以节点i为终点的最小边权值。初始化时因为默认把第一个节点加入生成树，因此lowcost[i] = graph[1][i]，即最小边权值就是各节点到1号节点的边权值中最小的。
( 3)mst[i]记录的是lowcost[i]对应的起点，这样有起点，有终点，即可唯 一确定一条边了。初始化时mst[i] = 1，即每条边都是从1号节点出发。
四、程序代码
#include <iostream>
using namespace std;
//队列
template <class T>
class Node
{
public:
Node(){}
virtual ~Node(){}
T data;
Node<T> *link;
};
template<class T>
class LinkedQueue
{
public:
LinkedQueue();
virtual ~LinkedQueue();
bool IsEmpty() const{return ((front)?false:true);}
LinkedQueue<T>& Add(const T& x);
LinkedQueue<T>& Delete(T& x);
public:
Node<T> *front;
Node<T> *rear;
};
template <class T>
LinkedQueue<T>::LinkedQueue()
{
front=rear=0;
}
template <class T>
LinkedQueue<T>::~LinkedQueue()
{
Node<T> *next;
while(front)
{
next=front->link;
delete front;
front=next;
}
}
template <class T>
LinkedQueue<T>& LinkedQueue<T>::Add(const T& x)
{
Node<T> *p=new Node<T>;
p->data=x;
p->link=0;
if(front)
rear->link=p;
else front=p;
rear=p;
return *this;
}
template <class T>
LinkedQueue<T>& LinkedQueue<T>::Delete(T& x)
{
if(IsEmpty())
{
return *this;
}
x=front->data;
Node<T> *p=front;
front=front->link;
delete p;
return *this;
}
//加权有向图
template <class T>
class AdjacencyWDigraph
{
public:
AdjacencyWDigraph(int Vertices = 10,T noEdge=0);
virtual ~AdjacencyWDigraph(){Delete2DArray(a,n+1);}
bool Exist(int i,int j) const;
int Edges() const {return e;}
int Vertices() const {return n;}
AdjacencyWDigraph<T>& Add(int i,int j ,const T& w);
AdjacencyWDigraph<T>& Delete(int i,int j);
int OutDegree(int i) const;
int InDegree(int i) const;
void Make2DArray(T ** &x,int rows,int cols);
void Delete2DArray(T ** &x,int rows);
//遍历
void InitializePos(){pos=new int[n+1];}
void DeactivatePos(){delete [] pos;}
int Begin(int i);
int NextVertex(int i);
//宽度优先搜索
void BFS(int v,int reach[],int label);
//深度优先搜索
void DFS(int v,int reach[],int label);
void dfs(int v,int reach[],int label);
public:
T NoEdge;
int n;
int e;
T **a;
int *pos;
};
template <class T>
AdjacencyWDigraph<T>::AdjacencyWDigraph(int Vertices ,T noEdge)
{
n = Vertices;
e = 0;
NoEdge = noEdge;
Make2DArray(a,n+1,n+1);
for(int i =1;i <= n;i++)
for(int j =1;j <=n;j++)
a[i][j] = NoEdge;
}
template <class T>
bool AdjacencyWDigraph<T>::Exist(int i,int j) const
{
if(i<1 || j<1 || i>n || j>n || a[i][j]==NoEdge)
return false;
return true;
}
template <class T>
AdjacencyWDigraph<T>& AdjacencyWDigraph<T>::Add(int i,int j ,const T&w)
{
if(i<1 || j<1 || i>n || j>n || i==j || a[i][j]!=NoEdge)
cout<<"zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz"<<endl;
a[i][j] = w;
e++;
cout <<"a["<<i<<"]["<<j<<"]="<<a[i][j]<<endl;
return *this;
}
template <class T>
AdjacencyWDigraph<T>& AdjacencyWDigraph<T>::Delete(int i,int j)
{
if(i<1 || j<1 || i>n || j>n || a[i][j]==NoEdge)
throw BadInput();
a[i][j] =NoEdge;
e--;
return *this;
}
template <class T>
int AdjacencyWDigraph<T>::OutDegree(int i) const
{
if(i<1 || i>n)
cout<<xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx<<endl;
int sum=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(a[i][j] !=NoEdge)
sum++;
return sum;
}
template <class T>
int AdjacencyWDigraph<T>::InDegree(int i) const
{
if(i<1 || i>n) throw BadInput();
int sum=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(a[j][i] !=NoEdge)
sum++;
return sum;
}
template <class T>
void AdjacencyWDigraph<T>::Make2DArray(T ** &x,int rows,int cols)
{
x=new T * [rows];
for(int i=0;i<rows;i++)
x[i]=new int [cols];
}
template <class T>
void AdjacencyWDigraph<T>::Delete2DArray(T ** &x,int rows)
{
for(int i=0;i<rows;i++)
delete [] x[i];
delete [] x;
x=0;
}
//遍历
template <class T>
int AdjacencyWDigraph<T>::Begin(int i)
{
if(i<1 || i>n)
cout<<"qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq"<<endl;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(a[i][j] != NoEdge)
{
pos[i]=j;
return j;
}
pos[i]=n+1;
return 0;
}
template <class T>
int AdjacencyWDigraph<T>::NextVertex(int i)
{
if(i<1 || i>n)
cout<<"sassssssssssssssssssssssssssssssss"<<endl;
for(int j=pos[i]+1;j<=n;j++)
if(a[i][j] != NoEdge)
{
pos[i]=j;
return j;
}
pos[i]=n+1;
return 0;
}
//宽度优先搜索
template <class T>
void AdjacencyWDigraph<T>::BFS(int v,int reach[],int label)
{
LinkedQueue<int> Q;
InitializePos();
reach[v]=label;
Q.Add(v);
while(!Q.IsEmpty())
{
int w;
Q.Delete(w);
cout<< w <<" ";
int u=Begin(w);
while(u)
{
if(reach[u] !=label)
{
Q.Add(u);
reach[u]=label;
}
u=NextVertex(w);
}
}
DeactivatePos();
}
//深度优先搜索
template <class T>
void AdjacencyWDigraph<T>::DFS(int v,int reach[],int label)
{
InitializePos();
dfs(v,reach,label);
DeactivatePos();
}
template <class T>
void AdjacencyWDigraph<T>::dfs(int v,int reach[],int label)
{
cout<<v<<" ";
reach[v]=label;
int u=Begin(v);
while(u)
{
if(reach[u] !=label)
dfs(u,reach,label);
u=NextVertex(v);
}
}
//加权无向图
template <class T>
class AdjacencyWGraph : public AdjacencyWDigraph<T>
{
public:
AdjacencyWGraph(int Vertices = 10,T noEdge=0):AdjacencyWDigraph<T>(Vertices,noEdge){}
AdjacencyWGraph<T>& Add(int i,int j ,const T& w)
{
AdjacencyWDigraph<T>::Add(i,j,w);
a[j][i]=w;
cout <<"a["<<j<<"]["<<i<<"]="<<w<<endl;
return *this;
}
AdjacencyWGraph<T>& Delete(int i,int j)
{
AdjacencyWDigraph<T>::Delete(i,j);
a[j][i]=NoEdge;
return *this;
}
int Degree(int i) const {return OutDegree(i);}
#define INF 999999 ;
void Prim(int n, int **c)
{
int *lowcost;
int *closest;
bool *s;
lowcost = new int[n];
closest = new int[n];
s = new bool[n];
s[1] = true;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
lowcost[i] = c[1][i];
closest[i]=1;
s[i] = false;
}
cout<<"最小生成树为:"<<endl;
for(i=1;i<n;i++)
{
int min = INF;
int j=1;
for(int k=2;k<=n;k++)
if((lowcost[k]<min) && (!s[k]))
{
min=lowcost[k];
j=k;
}
cout<<closest[j]<<" "<<j<<endl;
s[j]=true;
for(k=2;k<=n;k++)
if((c[j][k]<lowcost[k]) && (!s[k]))
{
lowcost[k] = c[j][k];
closest[k] = j;
}
}
}
};
void main()
{
//初始一个加权有向图
cout<<"建立加权有向图："<<endl;
int n1,n2,a,b,c;
cout<<"输入建立有向图的节点个数、边数: ";
cin>>n1>>n2;
AdjacencyWDigraph<int> graph(n1,0);
for(int i=1;i<=n2;i++)
{
cout<<"输入第"<<i<<"个（输入顺序为：起点，终点，权值）: ";
cin>>a>>b>>c;
graph.Add(a,b,c);
}
//遍历
graph.InitializePos();
cout<<"遍历："<<endl;
cout<<"遍历所有从顶点i开始的下一顶点：（输入1—"<<n1<<"）";
int nn,x;
cin >>nn;
x = graph.Begin(nn);
cout <<x<<endl;
x = graph.NextVertex(nn);
while(x!=0)
{
cout<<x<<endl;
x = graph.NextVertex(nn);
}
//宽度优先搜索
cout<<"宽度优先搜索 : "<<endl;
int reach2[6];
graph.BFS(1,reach2,9);
cout<<endl;
//深度优先搜索
cout<<"深度优先搜索："<<endl;
int reach1[6];
graph.DFS(1,reach1,9);
cout<<endl;
//最小生成树
//
cout<<"建立加权无向图："<<endl;
int nn1,nn2,a1,b1,c1;
cout<<"输入建立无向图的节点个数、边数: ";
cin>>nn1>>nn2;
#define INF 999999
AdjacencyWGraph<int> graph1(nn1,INF);
for(int i1=1;i1<=nn2;i1++)
{
cout<<"输入第"<<i1<<"个（输入顺序为：起点，终点，权值）: ";
cin>>a1>>b1>>c1;
graph1.Add(a1,b1,c1);
}
graph1.Prim(nn1,graph1.a);
}
关于最小生成树的算法
我使用的是Prim算法
最小生成树之Prim算法
1、生成树的概念
连通图G的一个子图如果是一棵包含G的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树。
生成树是连通图的极小连通子图。所谓极小是指：若在树中任意增加一条边，则将出现一个回路；若去掉一条边，将会使之变成非连通图。生成树各边的权值总和称为生成树的权。权最小的生成树称为最小生成树。
2、最小生成树的性质
用哲学的观点来说，每个事物都有自己特有的性质，那么图的最小生成树也是不例外的。按照生成树的定义，n 个顶点的连通网络的生成树有 n 个顶点、n-1 条边。
3、构造最小生成树，要解决以下两个问题：
( 1).尽可能选取权值小的边，但不能构成回路（也就是环）。
(2).选取n-1条恰当的边以连接网的 n个顶点。
求最小生成树的算法一般都使用贪心策略，有Prim算法和Krusal算法等。
普里姆算法的基本思想：
1）清空生成树，任取一个顶点加入生成树；
2）在那些一个端点在生成树里，另一个端点不在生成树里的边中，选取一条权最小的边，将它和另一个端点加进生成树；
3）重复步骤2，直到所有的顶点都进入了生成树为止，此时的生成树就是最小生成树。
即: 从连通网络 N = { V, E }中的某一顶点 u0 出发，选择与它关联的具有最小权值的边(u0, v)，将其顶点v加入到生成树的顶点集合U中。以后每一步从一个顶点在U中，而另一个顶点不在U中的各条边中选择权值最小的边(u, v),把它的顶点 v加入到集合U中。如此继续下去，直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合U中为止。
编写程序:对于如下一个带权无向图，给出节点个数以及所有边权值，用Prim算法求最小生成树。
代码的注释我写得很详细，方便理解，有几点需要说明一下。
(1)、2个for循环都是从2开始的，因为一般我们默认开始就把第一个节点加入生成树，因此之后不需要再次寻找它。
( 2)、lowcost[i]记录的是以节点i为终点的最小边权值。初始化时因为默认把第一个节点加入生成树，因此lowcost[i] = graph[1][i]，即最小边权值就是各节点到1号节点的边权值中最小的。
( 3)、mst[i]记录的是lowcost[i]对应的起点，这样有起点，有终点，即可唯一确定一条边了。初始化时mst[i] = 1，即每条边都是从1号节点出发。
输入数据:
7 11
A B 7
A D 5
B C 8
B D 9
B E 7
C E 5
D E 15
D F 6
E F 8
E G 9
F G 11
输出:
A - D : 5
D - F : 6
A - B : 7
B - E : 7
E - C : 5
E - G : 9
Total:39
最小生成树Prim算法朴素版 java语言实现 代码如下
import java.util.*;
public class Main {
static int MAXCOST=Integer.MAX_VALUE;
static int Prim(int graph[][], int n){
int lowcost[]=new int[n+1];
int mst[]=new int[n+1];
int min, minid, sum = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++){
lowcost[i] = graph[1][i];
mst[i] = 1;
}
mst[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++){
min = MAXCOST;
minid = 0;
for (int j = 2; j <= n; j++){
if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0){
min = lowcost[j];
minid = j;
}
}
System.out.printf("%c - %c : %d\n", mst[minid] + 'A' - 1, minid + 'A' - 1, min);
sum += min;
lowcost[minid] = 0;
for (int j = 2; j <= n; j++){
if (graph[minid][j] < lowcost[j]){
lowcost[j] = graph[minid][j];
mst[j] = minid;
}
}
}
return sum;
}
public static void main(String args[]){
Scanner sc=new Scanner(System.in);
int cost;
char chx, chy;
int n=sc.nextInt();//节点
int m=sc.nextInt();//边数
int graph[][]=new int[n+1][n+1];
for (int i = 1; i <= n; i++){
for (int j = 1; j <= n; j++){
graph[i][j] = MAXCOST;
}
}
for (int k = 0; k < m; k++){
chx=sc.next().charAt(0);
chy=sc.next().charAt(0);
cost=sc.nextInt();
int i = chx - 'A' + 1;
int j = chy - 'A' + 1;
graph[i][j] = cost;
graph[j][i] = cost;
}
cost = Prim(graph, n);
System.out.println("Total:"+cost);
}
}