大数运算（1）——大数存储
int （16位） -32768～32767
（注：现在大多数的编译器的int型是32位的 也就是说跟long型的大小一样）
long long或__int64（64位）
-9223372036854775808～9223372036854775807
float（32位） 精确到小数点后6～7位
double （64位） 精确到小数点后15～16位
（注：平时做题时 都把浮点型数据定义为double型 避免精度不够出错）
大数计算的数和结果精度一般是少则数十位，多则几万位。在C/C++语言中定义的类型中精度最多只有二十多位。一般我们称这种基本数据类型无法表示的整数为大整数。如何表示和存放大整数呢？基本的思想就是：用数组或字符串存放和表示大整数。一个数组或字符串元素，存放大整数中的一位。
例如：
大数a：1545485785212454510
大数b：15458526545451
大数c：2635578521245451
大数d：487845451
大数e：52454521247
用字符串进行大数的储存后，若进行运算，可以根据ASCII表中字符串元素对应的ASCII值减去0的ASCII值进行运算。
例如：字符串中a[0]='4'，其ASCII值是52,0的ASCII值是48,用52减去48正好是数字4。
大数运算（2）——大数加法
/*大数加法的中心思想就是：模拟人工列竖式算加法的方法。先从最低位开始相加，判断是否进1，一直到最高位。
例如：
求12545642233+278545的和，该怎么算？
是这样的：
3 3 2 2 4 6 5 4 5 2 1 0
+ 2 7 8 5 4 5 0 0 0 0 0 0
————————————————
5 //不进位，继续算下一位
0 //进位为1，并储存其各位数0
1 //2+8=10,10+1=11，同样，进位为1，并储存其各位数1
8 //不进位，继续算下一位
————————>
由低位向高位相加计算，注意判断是否进位！计算结束后，注意判断最后所得数组的长度，并去掉前导0。
下面是C语言代码实现：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int x[100]={0},y[100]={0},z[105]={0};//将数组元素全部初始化为0
int main()
{
char a[100],b[100];//通过字符串对大数进行输入并储存
int len1,len2,len;
while(scanf("%s %s",a,b))
{
int i,j=0,k=0;
len1=strlen(a);
len2=strlen(b);
for(i=len1-1;i>=0;i--)//将两个字符串中的字符转化为数字，并倒序储存到数组中，即字符串为123456，则数组为654321
{
x[j]=a[i]-'0';
j++;
}
for(i=len2-1;i>=0;i--)
{
y[k]=b[i]-'0';
k++;
}
if(len1>len2)
len=len1;
else
len=len2;
i=0;//从最低位(个位)开始进行计算
int m=0;
for(i=0;i<len;i++)
{
z[i]=(x[i]+y[i]+m)%10;//将所得数的个位存到数组z[i]中去
if((x[i]+y[i]+m)>=10)
m=1;
else
m=0;
}
if((x[i-1]+y[i-1]+m)>=10)//判断运算的最大位的和是否>=10
z[i]=1;
else
i=i-1;
for(;i>=0;i--)//到序输出数组
printf("%d",z[i]);
printf("
");
}
return 0;
}有时，你可能会遇到大数，但他是小数，例如125454521564564.56456132145645这样的，所以可以以小数点为界限，进行相加减。*/
大数运算(3)——大数减法
大数的减法与大数加法的方法有相似之处的，都是模拟人工运算的，从最低位开始运算，一直到最高位。
其方法是：
首先，要判断减数和被减数哪一个位数长，减数位数长是正常减；被减数位数长，则被减数减减数，最后还要加上负号；两数位数长度相等时，最好比较一下哪一个数字大，否则负号处理会很繁琐，用大的减去小的，最后加上负号；
其次，处理每一项时要，如果前一位相减有借位，就先减去上一位的借位，无则不减；再去判断是否能够减开被减数，如果减不开，就要借位后再去减，同时置借位为1，否则置借位为0。
结果可能会出现前面是一堆0的情况，要处理好，如当减数为112，而被减数为111时，会出现001 ，这时，需要将前面的0删除。
例如：13154-21213（同样，从最低位开始相减）
3 2 1 2 2
- 4 5 1 3 1
————————
9 //向前一位借1，则前一位的2变为1
6 // 2---->1向前一位借1，则前一位的1变为0
9 //1---->0向前一位借1，则前一位的2变为1
8 //2---->1向前一位借1，则前一位的2变为1
0 //不用借位。
9 6 9 8 0 //当然，输出时将0删除，并加上负号，即-9896
下面是C语言代码实现：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int x[100]={0},y[100]={0},z[105]={0};//将数组元素全部初始化为0
void sub(int x[],int y[],int len)
{
int i,j;
for(i=0;i<len;i++)
{
if(x[i]>=y[i])//如果x[i]>=y[i]，不用向前一位借1，可直接减
z[i]=x[i]-y[i];
else //如果x[i]<y[i]，向前一位借1，同时前一位应减1
{
z[i]=x[i]+10-y[i];
x[i+1]=x[i+1]-1;
}
}
for(i=len-1;i>0;i--)//删除前缀0
{
if(z[i]==0)
len--;
else
break;
}
for(i=len-1;i>=0;i--) //倒序输出数组
printf("%d",z[i]);
printf("
");
}
int main()
{
char a[100],b[100];//通过字符串对大数进行输入并储存
int len1,len2;
while(scanf("%s %s",a,b))
{
int i,j=0,k=0;
len1=strlen(a);
len2=strlen(b);
for(i=len1-1,j=0;i>=0;i--)//将两个字符串中的字符转化为数字，并倒序储存到数组中，即字符串为123456，则数组为654321
x[j++]=a[i]-'0';
for(i=len2-1,k=0;i>=0;i--)
y[k++]=b[i]-'0';
if(len1>len2) //若减数长度 > 被减数，正常减
sub(x,y,len1);
else if(len1<len2) //若减数长度 < 被减数，被减数 减 减数
{
printf("-");
sub(y,x,len2);
}
else //若减数长度 == 被减数，判断两个数的大小
{
for(i=len1-1;i>=0;i--)//判断每一位两个数的大小
{
if(x[i]==y[i])
continue;
if(x[i]>y[i])//即减数大
{
sub(x,y,len1);
break;
}
if(x[i]<y[i])//即被减数大
{
printf("-");
sub(y,x,len1);
break;
}
}
}
}
return 0;
}大数运算(4)——大数乘法
首先说一下乘法计算的算法：同样是模拟人工计算时的方法。
从低位向高位乘，在竖式计算中，我们是将乘数第一位与被乘数的每一位相乘，记录结果之后，用第二位相乘，记录结果并且左移一位，以此类推，直到计算完最后一位，再将各项结果相加，得出最后结果。
计算的过程基本上和小学生列竖式做乘法相同。为编程方便，并不急于处理进位，而将进位问题留待最后统一处理。
我们以125*53为例来说明计算过程：
1、先算125*3，3*5得到15个1，3*2得到6个10，3*1得到3个100；
2、接下来算125*5，5*5得到25个10，2*5得到10个100，5*1得到5个1000；
3、乘法过程完毕。接下来从 a[0]开始向高位逐位处理进位问题。a[0]留下5，把1 加到a[1]上，a[1]变为32 后，应留下2，把3 加到a[2]上……最终使得a里的每个元素都是1 位数，结果就算出来了
结果就是6625。
总结一个规律：即一个数的第i 位和另一个数的第j 位相乘所得的数，一定是要累加到结果的第i+j 位上。这里i， j 都是从右往左，从0 开始数。
即：ans[i+j] = a[i]*b[j];
另外进位时要处理，当前的值加上进位的值再看本位数字是否又有进位；前导清零。
下面是C语言代码实现：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAX 100
char a[MAX],b[MAX];//用字符串进行数字的输入
int x[MAX+10],y[MAX+10],z[MAX*2+10];//积的位数最多是因数位数的两倍
int main()
{
int len1,len2,i,j;
while(~scanf("%s %s",a,b))
{
len1=strlen(a);
len2=strlen(b);
for(j=0,i=len1-1;i>=0;i--)//将字符串中字符转化为数字，并倒序储存
x[j++]=a[i]-'0';
for(j=0,i=len2-1;i>=0;i--)
y[j++]=b[i]-'0';
for(i=0;i<len1;i++)//将因数各个位上的数字与另一个各个位上的数字相乘
{
for(j=0;j<len2;j++)
z[i+j]=z[i+j]+x[i]*y[j];//先乘起来，后面统一进行进位
}
for(i=0;i<MAX*2;i++)//进行进位
{
if(z[i]>=10) //若>=10
{
z[i+1]=z[i+1]+z[i]/10; //将十位上数字进位
z[i]=z[i]%10; //将个位上的数字留下
}
}
for(i=MAX*2;i>0;i--) //删除0的前缀
{
if(z[i]==0)
continue;
else
break;
}
for(;i>=0;i--) //倒序输出
printf("%d",z[i]);
printf("
");
}
return 0;
}大数运算(5)——大数除法(取模、取余)
有关于大数除法的运算可以大致分为两种：一种是求商（取模），另一种是求余数（取余）。
有两个大整数a和b，当a==b时，a/b==1，余数是0。（a!=0，b!=0）
当a>b时，a/b>=1，余数需要通过计算求得。
当a<b时，a/b=0，余数就是a。
而我们经常需要求的便是当a>b，这种情况我们该如何求商和余数呢？
其实基本的思想就是反复做减法，看看从被除数里最多能减去多少个除数，商就是多少。一个一个减显然太慢，如何减得更快一些呢？
以28536 除以23 为例来看一下：开始商为0。
先减去23 的1000 倍，就是23000，发现够减1 次，余下5536，于是商的值就增加1000；
然后用5536减去2300，发现够减2 次，余下936，于是商的值增加200，即1200；
再用936 减去230，够减4 次，余下16，于是商值增加40，即1240。
最后，发现余下的数比23小，即为余数，即28536 / 23 得1240余16。
这时，你会发现这其实就是咱们人工计算时相当于列的竖式。
另外，注意：我这里写的是有关大数除以大数的除法，同样适用于大数除以int类型范围的数，当然，也可以另写关于大数除以int的数。
这里写的全部是大整数，不包括小数。
下面是C语言代码实现：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
char a[100],b[100];//用两个字符串用来输入两个大数
int x[100],y[100],z[100],m[100];//被除数 除数 商 余数
int digit;//大数的位数
void sub(int x[],int y[],int len1,int len2)//大数减法
{
int i;
for(i=0;i<len1;i++)
{
if(x[i]<y[i])
{
x[i]=x[i]+10-y[i];
x[i+1]--;
}
else
x[i]=x[i]-y[i];
}
for(i=len1-1;i>=0;i--)//判断减法结束之后，被除数的位数
{
if(x[i])
{
digit=i+1;
break;
}
}
}
int judge(int x[],int y[],int len1,int len2)
{
int i;
if(len1<len2)
return -1;
if(len1==len2)//若两个数位数相等
{
for(i=len1-1;i>=0;i--)
{
if(x[i]==y[i])//对应位的数相等
continue;
if(x[i]>y[i])//被除数 大于 除数，返回值为1
return 1;
if(x[i]<y[i])//被除数 小于 除数，返回值为-1
return -1;
}
return 0;//被除数 等于 除数，返回值为0
}
}
int main()
{
int i,j=0,k=0,temp;
int len1,len2,len;//len两个大数位数的差值
while(~scanf("%s %s",a,b))
{
len1=strlen(a);//被除数位数
len2=strlen(b);//除数位数
for(i=len1-1,j=0;i>=0;i--)//将字符串中各个元素倒序储存在数组中
x[j++]=a[i]-'0';
for(i=len2-1,k=0;i>=0;i--)
y[k++]=b[i]-'0';
if(len1<len2)//当被除数位数 小于 除数位数时
{
printf("商是：0
");
printf("余数是：");
puts(a);
}
else //当被除数位数 大于或者 除数位数时
{
len=len1-len2;//两个大数位数的差值
for(i=len1-1;i>=0;i--)//将除数后补零，使得两个大数位数相同。被除数：4541543329 除数：98745,加零后:9874500000
{
if(i>=len)
y[i]=y[i-len];
else
y[i]=0;
}
len2=len1;//将两个大数数位相同
digit=len1; //将原被除数位数赋值给digit
for(j=0;j<=len;j++)
{
z[len-j]=0;
while(((temp=judge(x,y,len1,len2))>=0)&&digit>=k)//判断两个数之间的关系以及位数与除数原位数的关系
{
sub(x,y,len1,len2); //大数减法函数
z[len-j]++;//储存商的每一位
len1=digit;//重新修改被除数的长度
if(len1<len2&&y[len2-1]==0)
len2=len1;//将len1长度赋给len2;
}
if(temp<0)//若被除数 小于 除数，除数减小一位。例如：被除数：4541543329 除数：(原)98745,(加零后)9874500000，后退一位后:0987450000
{
for(i=1;i<len2;i++)
y[i-1]=y[i];
y[i-1]=0;
if(len1<len2)
len2--;
}
}
printf("商是：");
for(i=len;i>0;i--)//去掉前缀0
{
if(z[i])
break;
}
for(;i>=0;i--)
printf("%d",z[i]);
printf("
");
printf("余数是：");
for(i=len1;i>0;i--)
{
if(x[i])
break;
}
for(;i>=0;i--)
printf("%d",x[i]);
printf("
");
}
}
return 0;
}大数运算(6)——大数阶乘(求位数)
第一种:
lg(N!)=[lg(N*(N-1)*(N-2)*......*3*2*1)]+1
=[lgN+lg(N-1)+lg(N-2)+......+lg3+lg2+lg1]+1
用C语言实现：
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
int n;
double sum=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
sum=sum+log10(i);
}
printf("%d
",(int)sum+1);
return 0;
}第二种：
用Stirling公式计算n!结果的位数时，可以两边取对数，
得： log10(n!) = log10(2*PI*n)/2+n*log10(n/E);
故n!的位数= log10(2*PI*n)/2+n*log10(n/E)+1（注意：当n=1时，算得的结果为0）
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define PI 3.141592654
#define E 2.71828182846
int main()
{
int n,sum=1;
scanf("%d",&n);
if(n>3)
sum=log10(2*PI*n)/2+n*log10(n/E)+1;
printf("%d
",sum);
return 0;
}大数运算(7)——大数阶乘(求阶乘)
对于大数来说，一个数的阶乘是非常大的，同样，一个int类型的整数，他的阶乘就有可能会很大。
就拿50来说，他的阶乘位数是65位，就已经远远超过了long long int类型的最大值。这时候，我们要通过字符串的方法，来进行阶乘的运算。
当然，需要注意的是：
我们所求一个数的阶乘，这个数是在int范围内的，5000的阶乘位数是16326位。
其方法是：
首先，我们是可以先求一定范围内的最大值的阶乘位数，以便于申请数组空间的确定。
对于大数问题，我们要有将大数与数组结合的思想，可以利用类似于人工求值的方法求出有关大数的问题。
对于大数阶乘来说，最重要的是如何将每个数的每位数与相对应的数组元素储存起来，就如算50的阶乘，我们要先从1开始乘：
1*2=2,将2存到a[0]中，
接下来是用a[0]*3；
2*3=6，将6储存在a[0]中，
接下来是用a[0]*4；
6*4=24，是两位数，那么24%10==4存到a[0]中，24/10==2存到a[1]中，
接下来是用a[0]*5；a[1]*5+num(如果前一位相乘结果位数是两位数，那么num就等于十位上的那个数字；如果是一位数，num==0)
24*5=120，是三位数，那么120%10==0存到a[0]中，120/10%10==2存到a[1]中，120/100==1存到a[2]中，
接下来是用a[0]*3；a[1]*6+num；a[2]*6+num；
120*6=720，那么720%10==0存到a[0]中，720/10%10==2存到a[1]中，720/100==7存到a[2]中，
...................
直到乘到50，将每一位数储存为止。
下面是C语言代码实现：
#include <stdio.h>
int main()
{
int a[20001];//储存每一位所得到的数
int temp,digit,n,i,j=0;//temp每次的得数 digit每次得数的位数
scanf("%d",&n);
a[0]=1;//从1开始乘
digit=1;//位数从第一位开始
for(i=2;i<=n;i++)
{
int num=0;
for(j=0;j<digit;j++)
{
temp=a[j]*i+num;//将一个数的每一位数都分别乘以i，
a[j]=temp%10;//将一个数的每一位数利用数组进行储存
num=temp/10;
}
while(num)//判断退出循环后，num的值是否为0
{
a[digit]=num%10;//继续储存
num=num/10;
digit++;
}
}
for(i=digit-1;i>=0;i--)//倒序输出每一位
printf("%d",a[i]);
printf("
");
return 0;
}