2019 计蒜之道 初赛 第二场 A 百度AI小课堂-矩阵问题 ( 等差数列求和公式)

题目背景

​91029102 年 99 月 11 日，百度在 X 市 XX 中学举办了一场 AI 知识小课堂，本场 AI 知识小课堂老师教授了一些矩阵的相关知识，因为矩阵在 AI 人工智能中也有相当的应用。

题目描述

一个同学 LSQ 在小课堂后对矩阵产生极大的感兴趣，他想到了一个对矩阵求和的问题，但是这个矩阵实在太大了，他算不过来，你能帮帮他吗？

这个矩阵长这个样子，其右方和下方是没有边界的，但是不要担心，他并不要求你对整个矩阵求和，他只想知道，第 aa 行第 cc 列的格子为左上，第 bb 行第 dd 列的格子为右下的子矩阵中所有元素的和是多少？

方便起见，请将答案乘 22，再对 332748118332748118 取模后输出

1	2	3	4	5	6	7	8	9	...
2	3	4	5	6	7	8	9	10	...
3	4	5	6	7	8	9	10	11	...
4	5	6	7	8	9	10	11	12	...
5	6	7	8	9	10	11	12	13	...
6	7	8	9	10	11	12	13	14	...
7	8	9	10	11	12	13	14	15	...
8	9	10	11	12	13	14	15	16	...
9	10	11	12	13	14	15	16	17	...
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

输入格式

一行四个正整数 a,b,c,da,b,c,d。

输出格式

一行一个整数表示答案。

数据范围

a<ble 10^{18},c<dle 10^{18}a<b≤1018,c<d≤1018。

输出时每行末尾的多余空格，不影响答案正确性

样例输入复制

1 3 4 6

样例输出复制

108

 

思路：

通过分析我们可以发现，给定的矩阵的每一列是一个公差为1的等差数列，那么我们不妨先求出第一列的sum值。

然后我们又可以发现，每一列的sum值也是等差数列，公差是 b-a+1 ,在求和就是答案了。

注意几点的是，由于题目取模数不是一个质数，

而等差数列求前列项和的公式是 s(n)= n*a1+(n*(n-1))*d/2 ,

d为公差，

公式中有除以2这个运算，熟悉数论的同学应该知道，取模运算中遇到除法要转化为乘以它的逆元，

而这题的取模数是合数，要用exgcd来求逆元。

但是题目简单化了，题面讲到得到的结果值乘以2，取模后才是答案，

那么我们把*2这个运算带入我们上述的计算过程中就可以恰好消除所有的/2运算。

 

还有一个坑点是 数据范围全是 1e18 的数量级，要用快速取模乘法才不会爆long long 

 

细节见代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <iomanip>
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define rt return
#define dll(x) scanf("%I64d",&x)
#define xll(x) printf("%I64d
",x)
#define sz(a) int(a.size())
#define all(a) a.begin(), a.end()
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long ,long long>
#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
#define MSC0(X) memset((X), '', sizeof((X)))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define eps 1e-6
#define gg(x) getInt(&x)
#define db(x) cout<<"== [ "<<x<<" ] =="<<endl;
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
ll lcm(ll a, ll b) {return a / gcd(a, b) * b;}
ll powmod(ll a, ll b, ll MOD) {ll ans = 1; while (b) {if (b % 2)ans = ans * a % MOD; a = a * a % MOD; b /= 2;} return ans;}
inline void getInt(int* p);
const int maxn = 1000010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/
const ll mod = 332748118ll;
ll qmul(ll x, ll y) { // ?˷???ֹ????? ???p * p????ll?Ļ??????ӳˣ? O(1)?˷????????ɶ?????ӷ?
    return (x * y - (long long)(x / (long double)mod * y + 1e-3) * mod + mod) % mod;
    /*
    ll ret = 0;
    while(y) {
        if(y & 1)
            ret = (ret + x) % mod;
        x = x * 2 % mod;
        y >>= 1;
    }
    return ret;
    */
}
ll exgcd(ll l, ll r, ll &x, ll &y)
{
    if (r == 0) {x = 1; y = 0; return l;}
    else
    {
        ll d = exgcd(r, l % r, y, x);
        y -= l / r * x;
        return d;
    }
}
ll mod_inverse(ll a, ll m)
{
    ll x, y;
    if (exgcd(a, m, x, y) == 1) //ax+my=1
        return (x % m + m) % m;
    return -1;//?????
}

int main()
{
    // freopen("D:\common_text\code_stream\in.txt","r",stdin);
    //freopen("D:\common_text\code_stream\out.txt","w",stdout);
    // ll test=2e18;
    // cout<<test<<endl;
    ll a, b, c, d;
    cin >> a >> b >> c >> d;
    ll num = c + a - 1ll;
    num %= mod;
    ll n = b - a + 1ll;
    n %= mod;
    // ll temp=((2ll*num)%mod)*n%mod+(n*(n-1ll))%mod;
    ll temp = (qmul(qmul(2ll, num), n) + qmul(n, n - 1ll)) % mod;
    temp %= mod;
    // db(temp);
    n = d - c + 1ll;
    n %= mod;
    // cout<<n<<endl;
    ll gd = (b - a + 1ll);
    ll inv = mod_inverse(2ll, mod);
    ll ans = (qmul(temp, n) + qmul(qmul(n, n - 1ll), gd)) % mod;
    // cout<<temp*n%mod<<" "<<((n*(n-1ll))%mod*6ll*inv)%mod<<endl;
    ans = (ans + mod) % mod;
    cout << ans << endl;

    


    return 0;
}

inline void getInt(int* p) {
    char ch;
    do {
        ch = getchar();
    } while (ch == ' ' || ch == '
');
    if (ch == '-') {
        *p = -(getchar() - '0');
        while ((ch = getchar()) >= '0' && ch <= '9') {
            *p = *p * 10 - ch + '0';
        }
    }
    else {
        *p = ch - '0';
        while ((ch = getchar()) >= '0' && ch <= '9') {
            *p = *p * 10 + ch - '0';
        }
    }
}