[HDU - 5114 ] Collision (不定方程，exgcd，分类讨论)
题目链接：HDU - 5114
题面：
题意：
每一组测试给你六个整数：(x,y,x1,y1,x2,y2)，代表在一个长为(mathit x)， 高为(mathit y) 的矩形网格中，
最初由两个小球，分别在((x1,y1),(x2,y2))，小球在二维平面上的速度为((1,1))，现在问两个小球第一次相遇是在哪个位置？
思路：
因为小球在二维平面上的速度为((1,1))，所以小球相遇的位置一定是整数格子或整数格点的中间位置。
于是我们可以让平面拉伸2倍，这样使其计算过程中全是整数，输出时除以2即可。
分以下4类情况进行讨论：
1、两点重合，则最初时就相遇。
2、(x1=x2)，那么两球的横坐标始终相等，设(tm)秒后相遇，则(tm) 是让两球纵坐标第一次相等的时间 。
3、(x1=x2)，同上，那么两球的纵坐标始终相等，设(tm)秒后相遇，则(tm) 是让两球横坐标第一次相等的时间 。
单独计算两球横坐标和纵坐标第一次相等的时间方法：
拿横坐标举例：
若(x1=x2)，那么初始就相等，
否则：
假设：(x1>x2)，那么在第一个小球第一次到达右壁反弹前，二球横坐标不可能相等，
当小球1第一次到达右壁时，二者的距离差距是(x1-x2)，相对速度为2，则相等需要用时：
(time_x=x-x1+(x1-x2)/2=x-x1+x1/2-x2/2=x-x1/2-x2/2=x-(x1+x2)/2).
同理可得纵坐标第一次相等需要用时：(time_y=y - (y1 + y2) / 2)。
4、(x1 ot=x2,y1 ot=y2)时：
二者的横纵坐标第一次相等时，对应方向（单独考虑 x方向和 y方向）上的是相背而驰的，则相对的速度是2，而横/纵坐标的周期长度是(2*x,2*y)，则横纵坐标相等的周期分别为(x,y)。
那么可以建立如下不定方程：
(k_1 imes x +time_x=k_2 imes y +time_y)
一般式为：
(k_1 imes x+k_2 imes y=time_y-time_x)（k1,k2为待定系数，所以正负号无关紧要。）
那么我们可以用exgcd算法来判断方程是否有解，以及最小正整数解。
代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <bits/stdc++.h>
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define sz(a) int(a.size())
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long ,long long>
#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
#define MSC0(X) memset((X), ' ', sizeof((X)))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define eps 1e-6
#define chu(x) if(DEBUG_Switch) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<"]"<<endl
#define du3(a,b,c) scanf("%d %d %d",&(a),&(b),&(c))
#define du2(a,b) scanf("%d %d",&(a),&(b))
#define du1(a) scanf("%d",&(a));
using namespace std;
typedef long long ll;
// ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
// ll lcm(ll a, ll b) {return a / gcd(a, b) * b;}
ll powmod(ll a, ll b, ll MOD) { if (a == 0ll) {return 0ll;} a %= MOD; ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a % MOD;} a = a * a % MOD; b >>= 1;} return ans;}
ll poww(ll a, ll b) { if (a == 0ll) {return 0ll;} ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a ;} a = a * a ; b >>= 1;} return ans;}
void Pv(const vector<int> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%d", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("
");}}}
void Pvl(const vector<ll> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%lld", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("
");}}}
inline long long readll() {long long tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') { fh = -1; } c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') { tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); } return tmp * fh;}
inline int readint() {int tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') { fh = -1; } c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') { tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); } return tmp * fh;}
void pvarr_int(int *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%d%c", arr[i], i == n ? '
' : ' ');}}
void pvarr_LL(ll *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%lld%c", arr[i], i == n ? '
' : ' ');}}
const int maxn = 1000010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/
#define DEBUG_Switch 0
ll x, y, x1, y1, x2, y2;
ll move_(ll now, ll step, ll bond)
{
now += step;
now %= (bond * 2);
if (now > bond) {
now = bond - (now - bond);
}
return now;
}
ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
if (!b) {x = 1, y = 0; return;}
exgcd(b, a % b, y, x); y -= a / b * x;
return;
}
ll Exgcd(ll A, ll B, ll C)
{
// Ax+By=c
// return minimum x1 make equation is satisfied
ll k1, k2, g = gcd(A, B);
if (C % g) { return -1; }
A /= g, B /= g, C /= g;
exgcd(A, B, k1, k2);
return (k1 * C % B + B) % B;
}
int main()
{
#if DEBUG_Switch
freopen("D:\code\input.txt", "r", stdin);
#endif
//freopen("D:\code\output.txt","w",stdout);
int t;
t = readint();
for (int icase = 1; icase <= t; icase++) {
printf("Case #%d:
", icase );
x = readint(); y = readint();
x1 = readint(); y1 = readint();
x2 = readint(); y2 = readint();
x *= 2; y *= 2; x1 *= 2; y1 *= 2; x2 *= 2; y2 *= 2;
ll time_x = x - (x1 + x2) / 2;
ll time_y = y - (y1 + y2) / 2;
if (x1 == x2 && y1 == y2) {
printf("%.1f %.1f
", 0.5 * x1, 0.5 * y1);
} else if (x1 == x2) {
ll ans_x = move_(x1, time_y, x);
ll ans_y = move_(y1, time_y, y);
printf("%.1f %.1f
", 0.5 * ans_x, 0.5 * ans_y);
} else if (y1 == y2) {
ll ans_x = move_(x1, time_x, x);
ll ans_y = move_(y1, time_x, y);
printf("%.1f %.1f
", 0.5 * ans_x, 0.5 * ans_y);
} else {
ll k1 = Exgcd(x, y, time_y - time_x);
if (k1 == -1) {
printf("Collision will not happen.
");
} else {
ll ans_x = move_(x1, time_x + k1 * x, x);
ll ans_y = move_(y1, time_x + k1 * x, y);
printf("%.1f %.1f
", 0.5 * ans_x, 0.5 * ans_y);
}
}
}
return 0;
}