[2020-2021 ACM-ICPC Brazil Subregional Programming Contest] K. Between Us (高斯消元解异或方程组)
题面：
题意：
给定一个含有(mathit n)个节点(mathit m)个边的无向图，是你是否可以将点集划分为两个部分，原图的边的2个节点都在一个部分中的话继续保留此边。问是否存在某种划分使每一个节点都有奇数个出边。
思路：
我们设点集的划分状态为：(x_1,x_2,x_3,dots,x_n)，其中(x_i=0or1)分别代表点(mathit i)被划分到第1个集合和第2个集合中。
对于每个节点(mathit i)，如果原图中节点(mathit i)有偶数个出边，分别连向(u_1,u_2,dots,u_x)则：
当且仅当满足下式时划分才合法。
[x_{u_1}oplus x_{u_2}oplus x_{u_3}oplus dotsoplus x_{u_x}=1
]
如果原图中节点(mathit i)有奇数个出边，分别连向(u_1,u_2,dots,u_x)则：
当且仅当满足下式时划分才合法。
[x_{u_1}oplus x_{u_2}oplus x_{u_3}oplus dotsoplus x_{u_x}=x_i
]
即：
[x_ioplus x_{u_1}oplus x_{u_2}oplus x_{u_3}oplus dotsoplus x_{u_x}=0
]
可以发现这是一个含有(mathit n)个变量的异或方程组，我们只需要利用高斯消元算法判断其是否有解即可解决本问题。
代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <bits/stdc++.h>
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define sz(a) int(a.size())
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long ,long long>
#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
#define MSC0(X) memset((X), ' ', sizeof((X)))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define eps 1e-6
#define chu(x) if(DEBUG_Switch) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<"]"<<endl
#define du3(a,b,c) scanf("%d %d %d",&(a),&(b),&(c))
#define du2(a,b) scanf("%d %d",&(a),&(b))
#define du1(a) scanf("%d",&(a));
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
ll lcm(ll a, ll b) {return a / gcd(a, b) * b;}
ll powmod(ll a, ll b, ll MOD) { if (a == 0ll) {return 0ll;} a %= MOD; ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a % MOD;} a = a * a % MOD; b >>= 1;} return ans;}
ll poww(ll a, ll b) { if (a == 0ll) {return 0ll;} ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a ;} a = a * a ; b >>= 1;} return ans;}
void Pv(const vector<int> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%d", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("
");}}}
void Pvl(const vector<ll> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%lld", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("
");}}}
inline long long readll() {long long tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') { fh = -1; } c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') { tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); } return tmp * fh;}
inline int readint() {int tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') { fh = -1; } c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') { tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); } return tmp * fh;}
void pvarr_int(int *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%d%c", arr[i], i == n ? '
' : ' ');}}
void pvarr_LL(ll *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%lld%c", arr[i], i == n ? '
' : ' ');}}
// const int maxn = 1000010;
// const int inf = 0x3f3f3f3f;
/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/
const int maxn = 150;
int m, n, equ, var, a[maxn][maxn], free_xx[maxn];
//
// equ 表示方程个数
// var 表示变量个数
// a[i] 表示第i个方程,i -> [0,equ-1]
// a[i][j]=1,表示第i个方程中有第j个变量 j -> [0,var-1]
// a[i][var] 表示第i个方程的异或结果,(0 or 1)
//
int Gauss()
{
int r = 0, cnt = 0; //cnt表示自由变元个数
for (int c = 0; r < equ && c < var; ++r, ++c) {
int Maxr = r;
for (int i = r + 1; i < equ; ++i)
if (abs(a[i][c]) > abs(a[Maxr][c])) {
Maxr = i;
}
if (Maxr != r) {
for (int i = c; i < var + 1; ++i) {
swap(a[Maxr][i], a[r][i]);
}
}
if (!a[r][c]) {
--r;
free_xx[cnt++] = c;
continue;
}
for (int i = r + 1; i < equ; ++i) {
if (!a[i][c]) { continue; }
for (int j = c; j < var + 1; ++j) {
a[i][j] ^= a[r][j];
}
}
}
for (int i = r; i < equ; ++i)
if (a[i][var]) {
return -1; //无解
}
return var - r; //返回自由变元的个数,cnt=var-r
}
std::vector<int> v[maxn];
int main()
{
n = readint();
m = readint();
repd(i, 1, m) {
int x = readint(), y = readint();
v[x].pb(y);
v[y].pb(x);
}
var = n;
repd(i, 1, n) {
if (sz(v[i]) & 1) {
for (auto x : v[i]) {
a[equ][x - 1] = 1;
}
a[equ][i - 1] = 1;
equ++;
} else {
for (auto x : v[i]) {
a[equ][x - 1] = 1;
}
a[equ][n] = 1;
equ++;
}
}
if (Gauss() == -1) {
printf("N
");
} else {
printf("Y
");
}
return 0;
}