数据结构——稀疏矩阵

在普遍的印象中，矩阵是由方括号围住，同时各个坐标的数字整齐的排列着。如下图所示：

看到图示后，第一反应当然是用一个二维数组来表示，即简单又易懂。但我们又会碰到下图所示矩阵：

 看看这个矩阵，0好多啊（我们称之为稀疏矩阵），若用二维数组来表示，会重复存储了很多个0了，这样浪费了空间。

故要采取一种特殊的方式来存储这样的矩阵，这里就提出了数组的方式来存储这样的矩阵。

typedef struct
{
    int row;        //行坐标
    int col;        //列坐标
    int value;    //该点的值
} item;

这里item表示矩阵中点，那么一个稀疏矩阵（非0值的个数为num）的描述就如下：

用item[num+1]来表示一个矩阵，为啥要num+1，先作一点说明：

item数组的首值为{行数，列数，非0值个数}结构，除首值外，其余值表示的矩阵中非0值的行列坐标以及本身的值。先上个小例子，来解释下：

 已知上述矩阵非0值的个数为：16-7=9；用数组item test[9+1]来表示

数组下标(i)	行(row)	列(col)	值(value)
0	4	4	9
1	0	0	a
2	0	1	b
3	0	3	c
4	2	0	d
5	2	1	e
6	2	3	f
7	3	0	g
8	3	1	h
9	3	3	i

通过这种方式来存储，大大节约了空间，但同时带来了一定的麻烦（主要是矩阵运算时，不太好理解）。

1、矩阵转置运算

矩阵转置：即把矩阵行值变列值，列值变成行值，对于二维数组而言，就是将二维数组的下标进行互换即可，原始：a[i][j]=value；转换后：a[j][i]=value；

但转置对于用数组表示的矩阵来说，理解起来也简单，即将行列互换。

void transpose1(item* a,item* b)
{
    int col = a[0].row;
    int row = a[0].col;
    int value = a[0].value;
    b[0].row = row;                         //先将b[0]的值填充好
    b[0].col = col;
    b[0].value = value;
    int num=1;                              //num表示b矩阵的数组下标，因为首值已经设好，故从1开始
    for(int i=0;i<row;i++)                  //i为b的行标，里层循环遍历a矩阵，因为j从小到大，故获得b矩阵的列标也是在同行标的情况下，从小到大排列
    {
        for(int j=1;j<=value;j++)           //数组下标由小到大遍历
        {
            if(a[j].col == i)               //当a矩阵的列标与b的行标相等，则做如下处理
            {
                b[num].col = a[j].row;      //从这可以看出，b的列标在同行标下，是从小到大排列的。
                b[num].row = i;
                b[num].value = a[j].value;
                num++;
            }
        }
    }
}

从代码中，我们可以轻松看出，时间复杂度是比较大的，两层循环的缘故；O(row*(value))；若value为row*col的话，这个开销就非常大了。

书中提出了快速的转置的方式，简要描述如下：

a、首先找出转置后的矩阵，每行非0的个数。（通过遍历原始数组，对col的值进行次数统计）

b、获取每行非0值的起始数组下标；（已经0行的起始数组下标为1，而1行的起始数组下标就是0行的起始下标+0行中非0值的个数，同理下推）

c、遍历原始数组（从下标1开始），首先获得结果数组的下标，由原始数组的列标（结果数组行标）根据b步骤来判断循环的当前下标应该在结果数组的什么位置。

说的好绕口，看程序。

void transpose(item* a,item* b)//a为原始矩阵，b为转置后的矩阵。
{
    int row = a[0].col;
    int col = a[0].row;
    int value = a[0].value;
    b[0].row = row;
    b[0].col = col;
    b[0].value = value;

    //先统计下各行非0的个数
    //先初始个存储各行非0的数组
    int* p = new int[row];
    for(int i=0;i<=row;i++)
    {
        p[i]=0;
    }
    for(int i=1;i<=value;i++)
    {
        p[a[i].col]++;
    }
    //推算每行的起始点
    int* start = new int[row];
    start[0] = 1;
    for(int i=1;i<row;i++)
    {
        start[i] = start[i-1]+p[i-1];
    }
    for(int i=1;i<=value;i++)
    {
        int j = start[a[i].col]++;//用于获取数组下标，注意下标右移
        b[j].row = a[i].col;
        b[j].col = a[i].row;
        b[j].value = a[i].value;
    }
    delete[] start;
    delete[] p;
}

到此，我们也就完成了转置运算。

2、矩阵的乘法

在上一篇中，讲述过了矩阵乘法，这里就不做赘述了

对于稀疏矩阵来说，乘法相对来说，处理起来比较烦锁，并不像二维数组处理起来那么无脑。因为并不能从两个矩阵的非零值个数中，直接获得乘积后的结果矩阵的非零值个数。例如：

可以看出来，处理还是比较复杂的。

void mult(item* a,item* b,item* result)
{
    //根据矩阵相乘的具体算法步骤，即结果矩阵的（i,j）为a矩阵的i行与b矩阵的j列对应相乘，
    //那么我们可以做一个转换，可以看成a矩阵的i行与b矩阵的转置后的j行对应相乘，
    //对应的根据是：a矩阵的列数与b转置后的矩阵的列数相对应
    //首先对右边的矩阵进行转置操作
    int a_row = a[0].row,a_col = a[0].col,a_value = a[0].value;
    int b_row = b[0].row,b_col = b[0].col,b_value = b[0].value;
    if(a_col != b_row)
    {
        std::cout << "error";
        return;
    }
    //c矩阵为b的转置矩阵
    //先获取结果矩阵最大长度
    item* c = new item[b_value+1];
    transpose(b,c);                                 //下面所述的row表示结果数组的行标，col表示结果数组的列标
    int row = a[1].row;                             //结果矩阵的行标row一定是从这里开始的
    int col = 0;                                    //列标col暂置为0
                                                    //_begin用于标记row行初始位置。
    int _begin=1;                                   //如：循环时，前面row行已经处理完了，这时a数组的前面row行对于后续计算也就没意义了，这里_begin的作用就是用于记录a数组的row+1行位置作用
    int sum,num=1;                                  //sum存储的结果数组（row,col）处的value值，num用于存储结果数组的下标
    for(int i=1;i<=a_value;)                        //从a数组1开始遍历，直至a数组尾
    {
        col = c[1].row;                             //由于c为b数组转置矩阵，其行标就是结果数组的列标col，由矩阵的乘法性质知，每次col都从c[1].row开始的，故每次循环开始时，要重置下。
        sum = 0;
        for(int j=1;j<=b_value+1;)                  //此处value+1的作用是应对这种情况：a数组未遍历完，而j值已经取遍c的下标，而j++的作用导致超出c数组范围，可能会越界，而下面的第一个if作用也正是处理这种状况
        {
            if(j>b_value)                           //j值已经超出了b_value，意味着数组已被完全遍历，说明当前行row的值已经完全找出了。
            {
                result[num].row = row;              //这时我们就可以把之前记录的sum填入结果数组中，同时下标num要自加1
                result[num].col = col;
                result[num].value = sum;
                num++;
                break;                              //当前行的所有非0值均已找出，可以跳出该循环了
            }
            if(i>a_value||a[i].row != row)          //1、此时a矩阵该行已迭代完，没有可算的值2、当前row行已经迭代完，若继续迭代，行值就变了，
            {
                result[num].row = row;              //所以此时也可以将sum值存入结果数组中，同时下标num要自加1.
                result[num].col = col;
                result[num].value = sum;
                num++;
                i = _begin;                         //为了计算当前行的下一个（下一个col值）非零值，i要为该行的起始位置开始遍历
                for(;j<=b_value&&c[j].row==col;j++);//主要作用为了将当前行值为col的全部遍历过，但不作任何其他处理，然后进入下一col值
                if(j>b_value)break;                 //可能出现j的值比b_value大，就要跳出循环了。
                col = c[j].row;                     //将列值置为下一个col值
            }
            else if(c[j].row != col)                //由于c数组的row表示结果数值的列值，该条件说明当前列值与c数组的row值不等，意味着结果数组的列值应该下移了。
            {
                result[num].row = row;              //处理方式与上述有些类似
                result[num].col = col;
                result[num].value = sum;
                num++;
                i = _begin;
                col = c[j].row;
            }
            else if(a[i].col < c[j].col)            //下面3个条件很好理解。
            {
                i++;
            }
            else if(a[i].col == c[j].col)
            {
                sum += a[i++].value * c[j++].value;
            }
            else if(a[i].col > c[j].col)
            {
                j++;
            }
        }
        for(;i<=a_value&&a[i].row == row;i++);      //通过递归，将当前行迭代，直到进行下一个row行值。
        if(i>a_value)                               //如果i的值超出最大值，说明已经算完所有行了。
            break;                                  //终止循环
        row = a[i].row;
        _begin = i;                                 //同时记下此时row对应的开始下标。
    }
    result[0].row = a_row;
    result[0].col = b_col;
    result[0].value = num-1;
    delete[] c;
}

有空会把图给画出来，帮助理解。