题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6470
题意:求,直接矩阵快速幂得f(n)即可
构造矩阵如下:
n^3是肯定得变换的,用二项式展开来一点点配吧
我们会发现中间6*6的矩阵是个常数矩阵,则可以化为A=B^(N-2)*C(n-2次幂是因为我们求解是从N=3开始的),根据矩阵快速幂算出B^(N-2)次幂即可以了
矩阵快速幂的时间复杂度是logn
注意:我们中间构造的矩阵必须是一个方阵,矩阵快速幂的难点就在于构建中间的方阵
比如矩阵A,B,C,B是系数矩阵的话,A里的n要比c里的大1,并不是直接表示出来就可以了,左右两边的矩阵如果右边是X(n-1),左边就是Xn
方阵构建技巧可以看这篇博文:https://blog.csdn.net/u012061345/article/details/52224623
代码如下:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int mod=123456789; struct matrix{ ll a[11][11]; //begin with 1 int r,c; matrix(int n,int m):r(n),c(m){memset(a,0,sizeof(a));} ll* operator[](int x){return a[x];} friend matrix operator*(matrix A,matrix B) { matrix C(A.r,B.c); for(int i=1;i<=A.r;i++) for(int j=1;j<=B.c;j++) for(int k=1;k<=A.c;k++){ C[i][j]+=(A[i][k]*B[k][j])%mod; C[i][j]+=mod; C[i][j]%=mod; } return C; } }; matrix qpow(matrix A,ll m)//方阵A的m次幂 { matrix ans(A.r,A.c); for(int i=1;i<=A.r;i++) ans.a[i][i]=1; //单位矩阵 while(m) { if(m&1)ans=ans*A; A=A*A; m>>=1; } return ans; } int main() { ll T,n; for(cin>>T;T--;) { scanf("%lld",&n); matrix A(6,6); A[1][1]=1; A[1][2]=2; A[1][3]=1; A[1][4]=3; A[1][5]=3; A[1][6]=1; A[2][1]=1; A[3][3]=1; A[4][3]=1; A[4][4]=1; A[5][3]=1; A[5][4]=2; A[5][5]=1; A[6][3]=1; A[6][4]=3; A[6][5]=3; A[6][6]=1; matrix X2(6,1); X2[1][1]=2; X2[2][1]=1; X2[3][1]=1; X2[4][1]=2; X2[5][1]=4; X2[6][1]=8; matrix Xn=qpow(A,n-2)*X2; printf("%lld ",Xn[1][1]); } }