逻辑运算

　　逻辑运算又称布尔运算 布尔用数学方法研究逻辑问题，成功地建立了逻辑演算。他用等式表示判断，把推理看作等式的变换。这种变换的有效性不依赖人们对符号的解释，只依赖于符号的组合规律 。这一逻辑理论人们常称它为布尔代数。20世纪30年代，逻辑代数在电路系统上获得应用，随后，由于电子技术与计算机的发展，出现各种复杂的大系统，它们的变换规律也遵守布尔所揭示的规律。逻辑运算 (logical operators) 通常用来测试真假值。最常见到的逻辑运算就是循环的处理，用来判断是否该离开循环或继续执行循环内的指令。

基本概念

1.逻辑常量与变量：逻辑常量只有两个，即0和1，用来表示两个对立的逻辑状态。逻辑变量与普通代数一样，也可以用字母、符号、数字及其组合来表示，但它们之间有着本质区别，因为逻辑常量的取值只有两个，即0和1，而没有中间值。

2.逻辑运算：在逻辑代数中，有与、或、非三种基本逻辑运算。表示逻辑运算的方法有多种，如语句描述、逻辑代数式、真值表、卡诺图等。

3.逻辑函数：逻辑函数是由逻辑变量、常量通过运算符连接起来的代数式。同样，逻辑函数也可以用表格和图形的形式表示。

4.逻辑代数：逻辑代数是研究逻辑函数运算和化简的一种数学系统。逻辑函数的运算和化简是数字电路课程的基础，也是数字电路分析和设计的关键。

5.运用在NOIP2015没有出现逻辑运算

 

表示方法

"∨" 表示"或" （逻辑加法）

"∧" 表示"与". （逻辑乘法）

"┐"表示"非". （逻辑否定）

"=" 表示"等价".

1和0表示"真"和"假"

(还有一种表示,"+"表示"或", "·"表示"与")

 

运算符号

各种编程语言中的逻辑运算符
　　

作用	C	Pascal	Java	VB	C++
与	&	and	&	and	and 或 &&
或	|	or	|	or	or 或 ||
非	!	not	!	not	not 或 !

运算规则

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A......B..................A And B....A Or B........A Xor B

0......0.......................0..............0................0

1......0.......................0..............1................1

0......1.......................0..............1................1

1......1.......................1..............1................0

简单的说

And:与运算。只有同为真时才为真，近似于乘法。

Or:或运算。只有同为假时才为假，近似于加法。

Xor:异或运算。相同为假，不同为真。

 

定义

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真真得真（与运算），假假得假（或运算），同假异真（异或运算）。

基本公式

注：此处“+”表示“或”，" · " 表示“与”，“ ' ”表示“非”
　　(1) 1' = 0; 0' = 1
　　(2) A + 1 = 1
　　(3) A + 0 = A
　　(4) A + A = A
　　(5) A + A' = 1
　　(6) A · 0 = 0
　　(7) A · 1 = A
　　(8) A · A = A
　　(9) A · A' = 0
　　(10) A + B = B + A
　　(11) A · B = B · A
　　(12) A + (B + C) = (A + B) + C
　　(13) A · (B · C) = (A · B) · C
　　(14) A · (B + C) = A · B + A · C
　　(15) A + (B · C) = (A + B) · (A + C)
　　(16) (A')' = A
　　(17) (A + B)' = A' · B'
　　(18) (A · B)' = A' + B'

逻辑变量之间的运算称为逻辑运算。二进制数1和0在逻辑上可以代表“真”与“假”、“是”与“否”、“有”与“无”。这种具有逻辑属性的变量就称为逻辑变量。

计算机的逻辑运算和算术的逻辑运算的主要区别是：逻辑运算是按位进行的，位与位之间不像加减运算那样有进位或借位的联系。

逻辑运算主要包括三种基本运算：逻辑加法（又称“或”运算）、逻辑乘法（又称“与”运算）和逻辑否定（又称“非”运算）。此外，“异或”运算也很有用。

逻辑加法

逻辑加法（“或”运算）通常用符号“+”或“∨”来表示。逻辑加法运算规则如下：

0+0=0， 0∨0=0

0+1=1， 0∨1=1

1+0=1， 1∨0=1

1+1=1， 1∨1=1

从上式可见，逻辑加法有“或”的意义。也就是说，在给定的逻辑变量中，A或B只要有一个为1，其逻辑加的结果为1；两者都为1则逻辑加为1。

逻辑乘法

逻辑乘法（“与”运算）通常用符号“×”或“∧”或“·”来表示。逻辑乘法运算规则如下：

0×0=0， 0∧0=0， 0·0=0

0×1=0， 0∧1=0， 0·1=0

1×0=0， 1∧0=0， 1·0=0

1×1=1， 1∧1=1， 1·1=1

不难看出，逻辑乘法有“与”的意义。它表示只当参与运算的逻辑变量都同时取值为1时，其逻辑乘积才等于1。

逻辑否定

逻辑非运算又称逻辑否运算。其运算规则为：

┐0=1 （非0等于1）

┐1=0 （非1等于0）

异或运算

异或运算（半加运算）通常用符号"⊕"表示，其运算规则为：

0⊕0=0 0同0异或，结果为0

0⊕1=1 0同1异或，结果为1

1⊕0=1 1同0异或，结果为1

1⊕1=0 1同1异或，结果为0

即两个逻辑变量相异，输出才为1