Inclusion–exclusion principle（动态规划）

QUESTION：

把(2, 3, 5, 7)称为primes，能被primes整除的我们称之为Walprimes，比如 

-21, -30, 0, 5, 14 是， 而-121, 1, 143 etc不是Walprimes。现在给一个由数字组成的字符串，请在数字之间用+，或-，或什么符号都不用，来组成一个表达式。判断有多少个表达式的值是Walprimes。

SOLUTION：

首先，使用Inclusion–exclusion principle。F(s,{2, 3, 5, 7}) 表示从字符串s有Walprimes的数量。那么F(i,{2, 3, 5, 7}) = F(s, 2) + F(s, 3) + F(s, 5) + F(s, 7)

       - F(s, 2 * 3) - F(s, 2 * 5) - F(s, 2 * 7) - F(s, 3 * 5) - F(s, 3 * 7) - F(s, 5 * 7)

       + F(s, 3 * 5 * 7) + F(s, 2 * 5 * 7) + F(s, 2 * 3 * 7) + F(s, 2 * 3 * 5)

       - F(s, 2 * 3 * 5 * 7)

其次我们使用动态规划求F。R[i][j]表示字符串在i位置之后，j是被primes除余数是j。

int void F(string s, int prime){
    int R[s.length()][prime];
    memset(R, 0, sizeof(R));
    for(int i= s.length()-1;i>=0; i--){
       int first = s[i] - '0';
       for(int k = i+1; k < s.length(); j++){ //对R的第一维进行遍历
           for(int j = 0; j < primes; j ++){ //对R的第二维进行遍历
               R[i][j] += R[k][(prime+(j-first)%prime)%prime]; //i+...
               R[i][j] += R[k][(prime+(i-first)%prime)%prime]; //i-...
           }
           first = 10*first +s[k]; //i后面既没+也没-
        }
        R[i][first % p] += 1; //最后一个first
    }
    return return R[0][0];
}

int walprimes(const string& s) {
    return F(s, 2) + F(s, 3) + F(s, 5) + F(s, 7)
       - F(s, 2 * 3) - F(s, 2 * 5) - F(s, 2 * 7) - F(s, 3 * 5) - F(s, 3 * 7) - F(s, 5 * 7)
       + F(s, 3 * 5 * 7) + F(s, 2 * 5 * 7) + F(s, 2 * 3 * 7) + F(s, 2 * 3 * 5)
       - F(s, 2 * 3 * 5 * 7);
}