[LeetCode] 4. 寻找两个有序数组的中位数

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题目描述

给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1和 nums2。

请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 (O(log(m + n)))。

你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

示例 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

则中位数是 2.0

示例 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

分析与代码

• 首先两个有序数组，合并后就得到一个有序数组，相当于归并排序的最后一步，然后判断数组长度，奇数返回中间值，偶数返回中间两个数的平均值。但是，合并两个数组所需时间复杂度为 O(m + n)，题目要求时间复杂度为 O(log(m + n))，log 复杂度就想到二分算法了。
• 换种思路，求中位数，数组长度为奇数时其实就是求第 k 小的数（k 为中间那个数，从1数起），偶数时就是求第 k 小的数和第 k+1 小的数的平均值。
• 我们每次遍历时，比较两个数组中的第 k/2 个数字，如果哪个小，就表明该数组的前 k/2 个数字都不会是第 k 小的数字，可以直接排除掉。但是注意，若数组的长度不足 k/2，就取数组最后一个数去访问比较判断。
• 接下来就是重复第 3 步，但 k 要减去排除的数字的个数，直到k == 1，或者有一个数组为空。
• 若以k == 1结束，返回两个数组的第一个数中较小值；若有一个数组为空，返回另一个数组中的第 k 个数。

代码：

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int n = nums1.length;
        int m = nums2.length;
        if (((m + n) & 1) == 1) {
            return getKth(nums1, 0, nums2, 0, (n + m + 1) / 2);
        } else {
            return (getKth(nums1, 0, nums2, 0, (n + m + 1) / 2)
                    + getKth(nums1, 0, nums2, 0, (n + m + 2) / 2)) / 2.0;
        }
    }

    public int getKth(int[] nums1, int start1, int[] nums2, int start2, int k) {
        int len1 = nums1.length - start1;
        int len2 = nums2.length - start2;
        if (len1 == 0) {
            return nums2[start2 + k - 1];
        }
        if (len2 == 0) {
            return nums1[start1 + k - 1];
        }
        if (k == 1) {
            return Math.min(nums1[start1], nums2[start2]);
        }
        int i = start1 + Math.min(len1, k / 2) - 1;
        int j = start2 + Math.min(len2, k / 2) - 1;
        if (nums1[i] > nums2[j]) {
            return getKth(nums1, start1, nums2, j + 1, k - (j - start2 + 1));
        } else {
            return getKth(nums1, i + 1, nums2, start2, k - (i - start1 + 1));
        }
    }
}

小结

这题的二分是对 k 进行二分，每次能排除 k/2 个数。

在一个数组里二分简单，在这题里学习在两个数组里进行二分。

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