占梦人

占梦人一个晚上会做 n 个梦，编号为 1 ∼ n，她可以安排做这 n 个梦的顺序。 假如她第一个做了编号为 x 的梦，那么她的初始灵力值就是 x。接着，如果她在灵力值为 x 的时候 做了编号为 y 的梦，他的灵力值会变成 gcd(x,y)。
只有当灵力值改变时，她才可能预言到一些事情。
她希望能预测到的事情尽量多，那么有多少种安排去做 n 个梦寻找的顺序呢？ 请给出答案 %1000000007 的结果。

题目翻译如下：

问有多少个 1 ∼n 的排列 使得 b1 = a1 , bi = gcd(bi−1,ai)，bi 的种类最多。

这是思路：

对于所有满足f(p)=fmax(n)的排列，它们的首个元素s必然有最多的质因数。每次gcd改变时，只能从其中拿走一个质因数，这样我们可以保证有尽可能多的独特gcd。 而对于s有两条推论：

推论1：s=2^x*3^y，即s只能被2和3整除，因为如果s有其他的质因数p（p>4），我们可以s/p*4，这样可以得到更多质因数。

推论2：y<=1, 因为如果s=2^x*3^y，y>=2，我们可以让s=s/9*8，变为2^(x+3)*3^(y-2)，由此得到更多质因数

建立dp[i][x][y], 表示到下标i为止，满足要求的排列个数，并且gcd为2^x*3^y. 定义一个函数f(x,y)表示2^x*3^y的倍数个数，且这些倍数<=n

对于p(i+1)有3个方程：

加上2^x*3^y的倍数，gcd不改变，可以加f(x,y)个数，但是已经加了i个

dp[i+1][x][y]=dp[i+1][x][y]+dp[i][x][y]∗(f(x,y)−i)

x减少1，加上是2^(x-1)*3^y的倍数同时不是2^x*3^y的倍数

dp[i+1][x−1][y]=dp[i+1][x−1][y]+dp[i][x][y]∗(f(x−1,y)−f(x,y))

y减少1，加上是2^x*3^(y-1)的倍数同时不是2^x*3^y的倍数

dp[i+1][x][y−1]=dp[i+1][x][y−1]+dp[i][x][y]∗(f(x,y−1)−f(x,y))

总是可以以2^x开始，所以dp[1][x][0]=1;

同时如果2^(x-1)*3<=n,也可以以此开始，所以dp[1][x-1][1]=1

ans=dp[n][0][0]。

代码如下：

      

#include <iostream>
using namespace std;
#define mod 1000000007
int n,dp[1000005][21][2];
int f(int x,int y)
{
    int tmp=(1<<x);
    if (y)
    tmp*=3;
    return n/tmp;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int p=0;
    while ((1<<p)<=n)
    p++;
    p--;
    dp[1][p][0]=1;
    if ((1<<(p-1))*3<=n)
    dp[1][p-1][1]=1;
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        for (int x=0;x<=p;x++)
        {
            for (int y=0;y<=1;y++)
            {
                dp[i+1][x][y]=(dp[i+1][x][y]+1LL*dp[i][x][y]*(f(x,y)-i))%mod;
                if (x)
                dp[i+1][x-1][y]=(dp[i+1][x-1][y]+1LL*dp[i][x][y]*(f(x-1,y)-f(x,y)))%mod;
                if (y)
                dp[i+1][x][y-1]=(dp[i+1][x][y-1]+1LL*dp[i][x][y]*(f(x,y-1)-f(x,y)))%mod;
            }
        }
    }
    printf("%d",dp[n][0][0]);
}

这是一道数论题，我不是十分擅长，所以做起来很吃力。还是要努力学习！