关联矩阵与邻接矩阵 2018-11-27

参考: 关联矩阵与邻接矩阵

1. 邻接矩阵

1.1 定义

设无向图 G=(V, E)，其中顶点集 (V = {v_1, v_2,cdots, v_n}), 边集 (E={e_1, e_2, cdots, e_m})，
用 (a_{ij})表示顶点(v_i)与顶点(v_j)之间的边的数目，可能取值为0, 1, 2, ....,
称所得矩阵(A=A(G)=(a_{ij}))_{n imes n})为图 G 的邻接矩阵

1.2 邻接矩阵的性质

• A(G) 是对称矩阵
• 若 G 是无环图，则A(G)中第 i 行(列)的元素之和等于顶点(v_i)的度

类似地，有向图D的邻接矩阵(A(D)=(a_{ij})_{n imes n})，(a_{ij})表示从始点(v_i)到终点(v_j)的有向边的条数，其中(v_i)和(v_j)为D的顶点

e.g. 求下图的邻接矩阵

其邻接矩阵如下所示：
(left[ egin{matrix} 0&1&1&1\ 1&0&1&0 \ 1 &1 & 0 &1\ 1&0&1&0 end{matrix} ight])

2. 关联矩阵

2.1 定义：

设无向图 G=(V, E)，其中顶点集 (V = {v_1, v_2,cdots, v_n}), 边集 (E={e_1, e_2, cdots, e_m})，
用(m_{ij})表示顶点(v_i)与边(e_j)关联的次数，可能取值为0, 1, 2, ....,
称所得的矩阵$M(G)=(m_{ij})_{n imes m} $为图G的关联矩阵

类似的，有向图D的关联矩阵的元素定义为：

[m_{ij}=left{egin{array}{cc} 1, & v_i 是有向边e_j的始点\ -1, & v_i 是有向边e_j的终点\ 0, & v_i 是有向边e_j的不关联点\ end{array} ight.]

e.g. 求下图的邻接矩阵和关联矩阵

邻接矩阵：(left[ egin{matrix} 0&1&1&0\ 0&0&0&0 \ 0 &1 & 0 &1\ 1&0&0&0 end{matrix} ight]) 关联矩阵：(left[ egin{matrix} 1&0&0&-1&1\ -1&-1&0&0&0 \ 0 &1 & 1 &0 &-1\ 0&0&-1&1&0 end{matrix} ight])