「Algospot」津巴布韦ZIMBABWE

同时考验对状压DP和数位DP的理解；

传送门：$>here<$

题意

给出一个数字$e$，现在对$e$通过$m$进行变换得到$x$；变换的要求是：1.只能改变原数字$e$各个数位的顺序（可以有前导零） 2.$x$是$m$的倍数 3. $x<e$

问$x$有几种取值满足？

数据范围：$e leq 10^14, m leq 20$

Solution

DFS怎么做是关键

这道题如果使用DFS，那么大体思路就是枚举每一位填放什么数字。

那么需要一个数组（状压）在此过程中来记录还可以用哪些数字。这个地方不要想太多，我起初的思路刚开始统计一格数组代表0~9每个数字有几个，再依次减。然而这样麻烦，而且无法状压。一个直接的思路是直接用一个布尔数组表示原数组的每一位是否被用掉。

光这样是不行的，我们忘记考虑重复问题了。即$e=422$时，枚举每一位填什么时程序会把每个数字看成不同的，也就会出现$224,242,224,242$四种情况。

解决重复问题

如果按照我刚开始的思路把0~9各位统计出来就没这样的问题了。于是考虑能不能在状压的情况下也能达成这种效果。把$e$中各位进行排序得到$num$数组。这样的话，每当我使用一个数字的时候，先去检查在它之前的相同数字是否已被使用完——相当于把每种数字弄成一个栈，每次只能取栈顶。

转化为程序语言，就是满足一下三个条件中的一个：

1. 当前数字是$num$中的首个（特判第一个数字的栈顶）

2. 当前数字与前面那个数字不同（还未使用过的某个数字的栈顶）

3. 当前数字前面的那个已被用过（使用过的某个数字的栈顶）

目前为止，复杂度是阶乘

与数位DP相结合

找到刚才问题中的子结构——当还有哪些数字可以用确定时，只要知道之前数字的大小以及模m的情况即可了。

所谓数字的大小，就是在搜索的过程中保证搜出来的结果要小于e。之前学数位DP的时候已经强调过了，这也是数位DP的一个精髓思想：如果先前的数字已经较e的高位较小了，那么后面的数字可以任意填（无论如何不会超出e）。如果之前刚好与e一样，那么后面的依然要小心不超出。

透过题解看本质

状压解决顺序问题

当数据范围是十几，需要解决顺序问题时，往往采用状压

关于题中的重复问题

这题相较于一般的数位DP在于能使用的数的限制。却又要保证不重复，因此保证数字像栈一样使用的思路很重要，需要反复琢磨吧……

my code

代码的细节也是个大问题，严格区分cur和i——一个是递归中指示第几层的变量，一个是循环变量。

/*By DennyQi 2018*/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 10010;
const int MAXM = 20010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9+7;
inline int Max(const int a, const int b){ return (a > b) ? a : b; }
inline int Min(const int a, const int b){ return (a < b) ? a : b; }
inline int read(){
    int x = 0; int w = 1; register char c = getchar();
    for(; c ^ '-' && (c < '0' || c > '9'); c = getchar());
    if(c == '-') w = -1, c = getchar();
    for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x<<3) + (x<<1) + c - '0'; return x * w;
}
char s[300];
int T,m,len,digit[300],num[300],e[300],dp[40010][30][2];
int dfs(int cur, int sta, int mo, bool lim){
    if(cur == len){
        if(mo==0 && lim==0){
            return 1;
        }  
        else{
            return 0;
        }
    }
    int& a = dp[sta][mo][lim];
    if(a != -1) return a;
    a = 0;
    for(int i = 0; i < len; ++i){
        if(lim && num[i] > e[cur]) break;
        if(sta & (1<<i)) continue;
        if(i==0 || num[i]!=num[i-1] || (sta & (1<<(i-1)))){
            digit[cur] = num[i];
            a = (a + dfs(cur+1, sta|(1<<i), (mo*10+num[i])%m, lim&(num[i]==e[cur]))) % MOD;
        }
    }
    return a;
}
int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        memset(digit,0,sizeof(digit));
        scanf("%s",s);
        scanf("%d",&m);
        len = strlen(s);
        for(int i = 0; i < len; ++i){
            e[i] = s[i] - '0';
            num[i] = e[i];
        }
        sort(num,num+len);
        printf("%d
",dfs(0,0,0,1));
    }
    return 0;
}