下文中，记$C^k_n$为$inom{n}{k}$
二项式定理$$(x+y)^n = sumlimits_{k=0}^{n}inom{n}{k}x^{n-k}y^{k}$$
证明非常简单，由于合并同类项以后最多只有$n+1$项，按$x$的指数从大到小排列后：对于任意一项$x^{n-k}y^{k}$，相当于从$n$个$(x+y)$中，选出$n-k$项乘$x$。也就是组合数$inom{n}{n-k}=inom{n}{k}$
[ 推论 1 ] $sumlimits_{k=0}^{n}inom{n}{k}=2^n$
这也就是二项式定理的特殊情况，也就是对于所有的$x^{n-k}y^k$都为$1$，因此$x=y=1$。
$$2^n = (1+1)^n =sumlimits_{k=0}^{n}inom{n}{k}1^{n-k}1^k$$
[ 推论 2 ] $sumlimits_{k=0}^{n}(-1)^kinom{n}{k}=0$
思路完全一样，我们发现$inom{n}{k}$始终存在，也就不需要去改变。也就意味着$x^{n-k}y^k=(-1)^k$，显然可以满足$x=1,y=-1$
$$0=(1+(-1))^n=sumlimits_{k=0}^{n}inom{n}{k}1^{n-k}(-1)^k$$
[ 推论 3 ] $sumlimits_{k=0}^{n}inom{n}{k}2^k=3^n$
还是不看$1$就好了。$x+y=3, x^{n-k}y^k=2^k$，则$x=1,y=2$
$$3^n=(1+2)^n=sumlimits_{k=0}^{n}inom{n}{k}1^{n-k}2^k$$