基本流程
决策树是通过分次判断样本属性来进行划分样本类别的机器学习模型。每个树的结点选择一个最优属性来进行样本的分流，最终将样本类别划分出来。
构建决策树的关键是分流时最优属性$a$的选择。使用所谓信息增益$Gain(D,a)$来判别不同属性的划分性能，即划分前样本类别的信息熵，减去划分后样本类别的平均信息熵，显然信息增益越大越好：
$ ext{Ent}(D)=-sumlimits_{k=1}^{|mathcal{Y}|}p_klog_{2}p_k$
$displaystyle ext{Gain}(D,a)= ext{Ent}(D)-sumlimits_{v=1}^{V}frac{|D^v|}{|D|} ext{Ent}(D^v)$
其中$D$是划分前的数据集，$|mathcal{Y}|$是样本的类别数，$p_k$是数据集中类别$k$的比例，$D^v$是划分后的某个数据集，$V$是数据集的分流数量。
又考虑到可能有的属性取值过多，直接将样本划分为多个只包含一个样本的集合，信息熵变为了0，如此似乎是取得了最大的信息增益，但实际上是过拟合了。因此，除了使用信息增益外，还要使用“增益率”来平衡，以限制划分出的集合数。增益率定义如下：
$ ext{Gain_ratio}(D,a)=displaystyle frac{ ext{Gain(D,a)}}{ ext{IV}(a)},$
$displaystyle ext{IV}(a)=-sumlimits_{v=1}^Vfrac{|D^v|}{|D|}log_{2}frac{|D^v|}{|D|}$
当然，也不能一味地取增益率大的属性。因为大增益率偏好属性取值少的属性，也就会偏好连续属性（因为通常连续属性是取一个划分点来将样本划分为两部分，而离散属性则可能有多个属性取值）。因此通常会启发性地先选出信息增益大于平均值的属性，再从其中选择增益率最大的属性。
实验
训练数据集使用西瓜数据集：
实验没有使用python的机器学习包sklearn，分别测试了使用与不使用增益率来生成决策树。 首先自定义树结点的结构，分别是离散属性结点、连续属性结点与叶结点，如下：
1 node(离散): 2 { 3 "divide_attr": ["纹理", 3, 0, 0], //0：属性名称（第几个属性） //1：属性序号 //2：0离散，1连续 //3：连续属性的划分点 4 "if_leave": false, //是否为叶结点 5 "info_gain": 0.3805918973682686, //信息增益 6 "gain_ratio": 0.2630853587192754, //信息率 7 "divide": 8 { 9 "清晰":node, 10 "稍糊":node, 11 "模糊":node 12 }//存各个样式的结点 13 } 14 node(连续): 15 { 16 "divide_attr": ["密度", 6, 1, 0.3815], 17 "if_leave": false, 18 "info_gain": 0.7642045065086203, 19 "gain_ratio": 1.0, 20 "divide": 21 { 22 "0":node, //小于等于划分点 23 "1":node //大于划分点 24 }//存各个样式的结点 25 } 26 node(叶结点): 27 { 28 "if_leave":true, 29 "class":"是" //判断类别 30 "samples":[...] //存生成决策树时划分到这个叶结点的样本 31 }
结点使用字典存储。
将数据输入Excel中并在python中读入，然后使用处理好的数据生成决策树。以下是不使用增益率生成的决策树结构：
以下是使用增益率生成的决策树结构：
对比可以发现，当增益率参与决策树的生成时，连续属性会优先被使用。使用以上二者进行对训练集进行测试的正确率都是1.0。以下是处理数据、生成决策树、训练集验证、画出决策树结构的代码：
1 #%% 2 import matplotlib as plt 3 import numpy as np 4 import xlrd 5 import sys 6 7 table = xlrd.open_workbook('data.xlsx').sheets()[0]#读取Excel数据 8 data = [] 9 for i in range(0,table.nrows): 10 data.append(table.row_values(i)) 11 12 attr_type = np.zeros([len(data[0])-2])#获取属性类型0离散，1连续 13 for i in range(len(attr_type)): 14 if type(data[1][i+1]) == str: 15 attr_type[i] = 0 16 else: 17 attr_type[i]=1 18 19 data = np.array(data)[:,1:] #转为数字矩阵 并去掉序号 20 all_attr = data[0,:-1] #存属性名称 21 data = data[1:]#去掉表头 22 23 #%% 24 def get_info_entropy(a): 25 """ 26 传入array或list计算类别的信息熵 27 """ 28 c = {} 29 n = len(a) 30 for i in a: 31 if i not in c.keys(): 32 c[i] = 1 33 else: 34 c[i] += 1 35 entropy = 0 36 for i in c.keys(): 37 p = c[i]/n 38 entropy += -p*np.log2(p) 39 return entropy 40 41 def info_gain_and_ratio(D,s): 42 """ 43 传入原数据集、按属性分类后的字典s 44 """ 45 info_gain = get_info_entropy(D[:,-1]) 46 class_entro = 0 47 for i in s.keys(): 48 n = len(s[i]) 49 info_gain -= n/len(D)*get_info_entropy(s[i][:,-1]) 50 class_entro-=n/len(D)*np.log2(n/len(D)) 51 if class_entro == 0: 52 return info_gain,info_gain 53 return info_gain,info_gain/class_entro 54 55 56 def attr_classfier(D,an,if_dic): 57 """ 58 传入：数据集、分类属性序号、是否传出字典 59 使用属性对D进行分类 60 传出： 61 1、离散：以属性值为key，以分类后的数据集为value的字典dictionary 62 连续：key为0时<bound，为1时>bound 63 2、连续属性的最优分界点float，离散的传出0 64 3、类别信息增益 65 4、增益率 66 """ 67 dic = {} 68 opt_bound = 0 69 info_gain = 0 70 gain_ratio = 0 71 if attr_type[an] == 0:#离散属性获得分类数据集 72 for i in D: 73 if i[an] not in dic.keys(): 74 dic[i[an]] = [i] 75 else: 76 dic[i[an]].append(i) 77 for i in dic.keys(): 78 dic[i] = np.array(dic[i]) 79 info_gain,gain_ratio = info_gain_and_ratio(D,dic) 80 elif attr_type[an] == 1:#连续属性获得分类数据集 81 attrs = D[:,an] 82 attrs = np.sort(attrs.astype(float)) 83 for i in range(len(attrs)-1): 84 bound = (attrs[i]+attrs[i+1])/2 85 dic0 = {} #每次都初始化 86 dic0['0'] = [] 87 dic0['1'] = [] 88 for j in D: 89 if float(j[an]) <= bound: 90 dic0['0'].append(j) 91 else: 92 dic0['1'].append(j) 93 for j in dic0.keys(): 94 dic0[j] = np.array(dic0[j]) 95 t,b = info_gain_and_ratio(D,dic0) 96 if t>info_gain: 97 dic = dic0 98 opt_bound = bound 99 info_gain = t 100 gain_ratio = b 101 if if_dic: 102 return dic,opt_bound,info_gain,gain_ratio 103 return opt_bound,info_gain,gain_ratio 104 105 def get_most_class(d): 106 """ 107 获取数据集中占比最大的类别 108 """ 109 c = {} 110 for i in d[:,-1]: 111 if i not in c.keys(): 112 c[i] = 1 113 else: 114 c[i] += 1 115 m = "" 116 for i in c.keys(): 117 if m == "": 118 m = i 119 elif c[i] > c[m]: 120 m = i 121 return m 122 123 #%% 124 def get_opt_attr(ave_info_gain,info_gains,gain_ratios,A,use_gain_ratios): 125 """ 126 获取最优属性传入： 127 1、平均信息增益 128 2、所有属性的信息增益 129 3、所有属性的信息率 130 4、属性可用list 131 5、是否使用信息率 132 """ 133 opt_attr_index = 0 134 #获取最优属性 135 for i in range(len(A)): 136 if A[i] == 1: 137 if info_gains[i] > ave_info_gain:#在信息增益大于平均中取最大信息率 138 if use_gain_ratios: 139 if gain_ratios[i] > gain_ratios[opt_attr_index]: 140 opt_attr_index = i ################取到最优属性了 141 else: 142 if info_gains[i] > info_gains[opt_attr_index]: 143 opt_attr_index = i 144 return opt_attr_index 145 146 def create_node(D,A,use_gain_ratios): 147 ''' 148 :传入数据集和属性集 149 :D传入数据集的切片 150 :A传入属性的使用矩阵，如[1,1,1,0,0,0,1],1表示可使用，0表示已使用 151 :函数同一类别的先判断，之后属性取值全相同和划分属性放一起 152 ''' 153 node = {} 154 if len(set(D[:,-1])) == 1:#类别全相等，叶结点 155 node["if_leave"]=True 156 node["class"]=D[0,-1] 157 node["samples"] = D.tolist() 158 return node 159 info_gains = np.zeros([len(A)]) #所有可用属性得出的信息增益 160 ave_info_gain = 0#平均信息增益 161 gain_ratios = np.zeros([len(A)])#所有可用属性得出的信息增益率 162 opt_attr_index = 0#大于平均信息增益的属性中，增益率最大的属性索引 163 attr_bound = np.zeros([len(A)]) #连续属性的属性界限 164 active_attrN = 0 #可用属性数，用于求信息增益平均 165 for i in range(len(A)): 166 if A[i] == 1: 167 attr_bound[i],info_gains[i],gain_ratios[i] = attr_classfier(D,i,False) 168 ave_info_gain += info_gains[i] 169 active_attrN += 1 170 """ 171 以下判断之一成立，即为叶结点，没有分下去的意义： 172 # 1、所有属性增益率都太低 173 # 2、所有属性是否分别在所有样本上取值都相同（同上，信息增益=0） 174 # 3、可用属性为空 175 """ 176 if ave_info_gain < 0.01 or active_attrN == 0: 177 node["if_leave"] = True 178 node["class"] = get_most_class(D[:,-1])#类别为数据集中最多的类 179 node["samples"] = D.tolist() 180 return node 181 #获取最优属性 182 opt_attr_index = get_opt_attr(opt_attr_index,info_gains,gain_ratios,A,use_gain_ratios) 183 """ 184 以下由最优属性生成子结点 185 """ 186 dic,bound,info_gain,gain_ratio= attr_classfier(D,opt_attr_index,True) 187 if attr_type[opt_attr_index] == 0:#离散 188 A[opt_attr_index] = 0 189 node["divide_attr"] = [all_attr[opt_attr_index],opt_attr_index,0,0] 190 elif attr_type[opt_attr_index] == 1:#连续 191 node["divide_attr"] = [all_attr[opt_attr_index],opt_attr_index,1,bound] 192 sons = {} 193 for i in dic.keys(): 194 sons[i] = create_node(dic[i],A[:],use_gain_ratios) 195 node["if_leave"] = False 196 node["info_gain"] = info_gain 197 node["gain_ratio"] = gain_ratio 198 node["divide"] = sons 199 return node 200 201 """ 202 此处生成决策树，True使用增益率，False不用 203 """ 204 root = create_node(data,np.ones([len(all_attr)]),False) 205 206 #%% 207 """ 208 以上训练好模型root，下面测试 209 """ 210 def test_decision_tree(sample,tree): 211 decision = "" 212 while True: 213 if tree["if_leave"] == True: 214 decision = tree["class"] 215 break 216 if tree["divide_attr"][2] == 0:#离散 217 attr = tree["divide_attr"][1] 218 tree = tree["divide"][sample[attr]] 219 elif tree["divide_attr"][2] == 1:#连续 220 attr = tree["divide_attr"][1] 221 b = tree["divide_attr"][3] 222 if float(sample[attr]) <= b: 223 tree = tree["divide"]["0"] 224 else: 225 tree = tree["divide"]["1"] 226 return decision 227 right = 0 228 for i in data: 229 a = test_decision_tree(i,root) 230 if i[-1] == a: 231 right +=1 232 print("正确率：" + str(right/len(data))) 233 #%% 234 """ 235 Json导出树的结构 236 """ 237 import json 238 with open('decision tree.json','w',encoding='utf-8') as f: 239 f.write(json.dumps(root,ensure_ascii = False)) 240 #%% 241 """ 242 画出决策树结构 243 """ 244 import pydotplus as pdp 245 246 def iterate_tree(tree,num): 247 """ 248 迭代决策树，递归出结点间的箭头map 249 """ 250 map_str = "" 251 itenum = num 252 if tree["if_leave"]: 253 map_str = str(num)+'[label="' + tree["class"] + '"];' #类别 254 map_str += str(num)+'[shape=ellipse];' #显示为椭圆 255 else: 256 if tree["divide_attr"][2] == 0:#离散属性 257 map_str = str(num)+'[label="' + tree["divide_attr"][0] + '=?"];' #判别属性 258 for i in tree["divide"].keys(): 259 itenum+=1 260 map_str += str(num)+"->"+str(itenum)+'[label="'+ i +'"];' #添加边与边标签 261 son_map_str, itenum= iterate_tree(tree["divide"][i],itenum) 262 map_str+=son_map_str 263 elif tree["divide_attr"][2] == 1:#连续属性 264 map_str = str(num)+'[label="' + tree["divide_attr"][0] +"<="+ str(tree["divide_attr"][3]) + '?"];' #判别属性标签 265 itenum+=1 266 map_str += str(num)+"->"+str(itenum)+'[label="是"];' #添加边与边标签 267 son_map_str, itenum= iterate_tree(tree["divide"]["0"],itenum) 268 map_str+=son_map_str 269 itenum+=1 270 map_str += str(num)+"->"+str(itenum)+'[label="否"];' #添加边与边标签 271 son_map_str, itenum= iterate_tree(tree["divide"]["1"],itenum) 272 map_str+=son_map_str 273 274 return map_str,itenum 275 def get_decision_tree_map(tree): 276 map_str = """ 277 digraph decision{ 278 node [shape=box, style="rounded", color="black", fontname="Microsoft YaHei"]; 279 edge [fontname="Microsoft YaHei"]; 280 """ 281 mm,n = iterate_tree(tree,0) 282 return map_str + mm + "}" 283 284 decision_tree_map = get_decision_tree_map(root) 285 print(decision_tree_map) 286 graph = pdp.graph_from_dot_data(decision_tree_map) 287 graph.write_pdf("Decision tree.pdf")